Giải tích Ví dụ

Sử dụng ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ để viết lại ${\displaystyle \sqrt{x}}$ ở dạng ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=\frac{1}{2}}$.

Để viết ${\displaystyle -1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Kết hợp ${\displaystyle -1}$ và ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

Rút gọn tử số.

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

Sử dụng ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ để viết lại ${\displaystyle \sqrt{x^3}}$ ở dạng ${\displaystyle x^{\frac{3}{2}}}$.

Vì ${\displaystyle -1}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle -x^{\frac{3}{2}}}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle -\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=\frac{3}{2}}$.

Để viết ${\displaystyle -1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Kết hợp ${\displaystyle -1}$ và ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

Rút gọn tử số.

Kết hợp ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ và ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$.

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Nhân ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ với ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$.

Vì ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\right]}$.

Viết lại ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$ ở dạng ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ là ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ trong đó ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ và ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=\frac{1}{2}}$.

Nhân các số mũ trong ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{-2}}$.

Để viết ${\displaystyle -1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Kết hợp ${\displaystyle -1}$ và ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

Rút gọn tử số.

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

Kết hợp ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ và ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$.

Kết hợp ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}}$ và ${\displaystyle x^{-1}}$.

Nhân ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$ với ${\displaystyle x^{-1}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Di chuyển ${\displaystyle x^{-\frac{3}{2}}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Nhân ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ với ${\displaystyle \frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}}$.

Nhân ${\displaystyle 2}$ với ${\displaystyle 2}$.

Vì ${\displaystyle -\frac{3}{2}}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle -\frac{3x^{\frac{1}{2}}}{2}}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle -\frac{3}{2}\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{1}{2}}\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=\frac{1}{2}}$.

Để viết ${\displaystyle -1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Kết hợp ${\displaystyle -1}$ và ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

Rút gọn tử số.

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

Kết hợp ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ và ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$.

Nhân ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}}$ với ${\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Nhân ${\displaystyle 2}$ với ${\displaystyle 2}$.

Di chuyển ${\displaystyle 3}$ sang phía bên trái của ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$.

Di chuyển ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle \sqrt{x}-\sqrt{x^3}}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\sqrt{x}\right]+\frac{d}{dx}[-\sqrt{x^3}]}$.

Tính ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\sqrt{x}\right]}$.

Tính ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-\sqrt{x^3}]}$.

Rút gọn.

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

Vì ${\displaystyle 2x^{\frac{1}{2}},2,1}$ chứa cả số và biến nên cần thực hiện hai bước để tìm BCNN. Tìm BCNN cho phần số ${\displaystyle 2,2,1}$ sau đó tìm BCNN cho phần biến ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$.

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

Vì ${\displaystyle 2}$ không có thừa số nào ngoài ${\displaystyle 1}$ và ${\displaystyle 2}$.

Số ${\displaystyle 1}$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

BCNN của ${\displaystyle 2,2,1}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

BCNN của ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

BCNN cho ${\displaystyle 2x^{\frac{1}{2}},2,1}$ là phần số ${\displaystyle 2}$ nhân với phần biến.

Nhân mỗi số hạng trong ${\displaystyle \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}-\frac{3x^{\frac{1}{2}}}{2}=0}$ với ${\displaystyle 2x^{\frac{1}{2}}}$.