Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 + e^{x}$ .

$\frac{(3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.3.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.5

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.5.3

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.6.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.1

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.6.2.1.2

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.6.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.2.1

Trừ $e^{2 x}$ khỏi $e^{2 x}$ .

$\frac{3 e^{x} + 0}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.6.2.2.2

Cộng $3 e^{x}$ và $0$ .

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}})$

Bước 2.2

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{({(3 + e^{x})}^{2})}^{2}})$

Bước 2.3

Nhân các số mũ trong ${({(3 + e^{x})}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{2 \cdot 2}})$

Bước 2.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 3 + e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 + e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Bước 2.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 + e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Bước 2.6.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (e^{x})))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Bước 2.6.3

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} (e^{x})))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Bước 2.6.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Bước 2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Bước 2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Bước 2.9

Cộng $x$ và $x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Bước 2.10

Đưa $3 + e^{x}$ ra ngoài ${(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Đưa $3 + e^{x}$ ra ngoài ${(3 + e^{x})}^{2} e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Bước 2.10.2

Đưa $3 + e^{x}$ ra ngoài $- 2 e^{2 x} (3 + e^{x})$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) + (3 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Bước 2.10.3

Đưa $3 + e^{x}$ ra ngoài $(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) + (3 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Bước 2.11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Đưa $3 + e^{x}$ ra ngoài ${(3 + e^{x})}^{4}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(3 + e^{x}) {(3 + e^{x})}^{3}})$

Bước 2.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(3 + e^{x}) {(3 + e^{x})}^{3}})$

Bước 2.11.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}})$

Bước 2.12

Kết hợp $3$ và $\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 2.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 2.13.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) + 3 (e^{x} e^{x}) + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 2.13.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.3.1.1

Nhân $3$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 (e^{x} e^{x}) + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 2.13.3.1.2

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.3.1.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{x + x} + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 2.13.3.1.2.2

Cộng $x$ và $x$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{2 x} + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 2.13.3.1.3

Nhân $- 2$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{2 x} - 6 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 2.13.3.2

Trừ $6 e^{2 x}$ khỏi $3 e^{2 x}$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} - 3 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 2.13.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 e^{x} - 3 e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.4.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) - 3 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 2.13.4.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 e^{2 x}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) + 3 (- e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 2.13.4.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (3 e^{x}) + 3 (- e^{2 x})$ .

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} - e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 2.13.4.2

Viết lại $e^{2 x}$ ở dạng ${(e^{x})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 2.13.4.3

Giả sử $u = e^{x}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (3 u - u^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 2.13.4.4

Đưa $u$ ra ngoài $3 u - u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.4.4.1

Đưa $u$ ra ngoài $3 u$ .

$f'' (x) = \frac{3 (u \cdot 3 - u^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 2.13.4.4.2

Đưa $u$ ra ngoài $- u^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (u \cdot 3 + u (- u))}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 2.13.4.4.3

Đưa $u$ ra ngoài $u \cdot 3 + u (- u)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (u (3 - u))}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 2.13.4.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (3 - e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$

Bước 4

Vì không có giá trị nào của $x$ làm cho đạo hàm bậc nhất bằng $0$ , nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 5

Không có cực trị địa phương

Bước 6