Giải tích Ví dụ

$\sum_{k = 3}^{8} k (k - 4)$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$k \cdot k + k \cdot - 4$

Bước 1.2

Nhân $k$ với $k$ .

$k^{2} + k \cdot - 4$

Bước 1.3

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của $k$ .

$k^{2} - 4 k$

Bước 1.4

Viết lại tổng.

$\sum_{k = 3}^{8} k^{2} - 4 k$

Bước 2

Tách tổng để làm cho giá trị bắt đầu của $k$ bằng $1$ .

$\sum_{k = 3}^{8} k^{2} - 4 k = \sum_{k = 1}^{8} k^{2} - 4 k - \sum_{k = 1}^{2} k^{2} - 4 k$

Bước 3

Tính $\sum_{k = 1}^{8} k^{2} - 4 k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{8} k^{2} - 4 k = \sum_{k = 1}^{8} k^{2} - 4 \sum_{k = 1}^{8} k$

Bước 3.2

Tính $\sum_{k = 1}^{8} k^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 3.2.2

Thay các giá trị vào công thức.

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Bước 3.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

Bước 3.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

Bước 3.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

Bước 3.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

Bước 3.2.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

Bước 3.2.3.2.2

Cộng $8$ và $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

Bước 3.2.3.2.3

Nhân $4$ với $9$ .

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

Bước 3.2.3.2.4

Cộng $16$ và $1$ .

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

Bước 3.2.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.3.1

Nhân $36$ với $17$ .

$\frac{612}{3}$

Bước 3.2.3.3.2

Chia $612$ cho $3$ .

$204$

Bước 3.3

Tính $4 \sum_{k = 1}^{8} k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 3.3.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- 4) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Bước 3.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Cộng $8$ và $1$ .

$- 4 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Bước 3.3.3.1.2

Nhân $8$ với $9$ .

$- 4 (\frac{72}{2})$

Bước 3.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{72}{2}$

Bước 3.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 2 \frac{72}{2}$

Bước 3.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 \cdot 72$

Bước 3.3.3.3

Nhân $- 2$ với $72$ .

$- 144$

Bước 3.4

Cộng các kết quả của tổng.

$204 - 144$

Bước 3.5

Trừ $144$ khỏi $204$ .

$60$

Bước 4

Tính $\sum_{k = 1}^{2} k^{2} - 4 k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $k$ .

$1^{2} - 4 \cdot 1 + 2^{2} - 4 \cdot 2$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 + 2^{2} - 4 \cdot 2$

Bước 4.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$1 - 4 + 2^{2} - 4 \cdot 2$

Bước 4.2.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$- 3 + 2^{2} - 4 \cdot 2$

Bước 4.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 3 + 4 - 4 \cdot 2$

Bước 4.2.5

Nhân $- 4$ với $2$ .

$- 3 + 4 - 8$

Bước 4.2.6

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$- 3 - 4$

Bước 4.2.7

Trừ $4$ khỏi $- 3$ .

$- 7$

Bước 5

Thay thế các phép tổng bằng các giá trị tìm được.

$60 + 7$

Bước 6

Cộng $60$ và $7$ .

$67$