Giải tích Ví dụ

$y \cos (\frac{1}{y}) = 9 x + 9 y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y \cos (\frac{1}{y})) = \frac{d}{d x} (9 x + 9 y)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = y$ và $g (x) = \cos (\frac{1}{y})$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (\frac{1}{y})] + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \frac{1}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{1}{y}$ .

$y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$y (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{y}$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1$ và $g (x) = y$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.4.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{y \cdot 0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Nhân $y$ với $0$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.4.3.2

Trừ $\frac{d}{d x} [y]$ khỏi $0$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{- \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y (- \sin (\frac{1}{y}) (- \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.4.3.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y (1 \sin (\frac{1}{y}) \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.4.3.5

Nhân $\sin (\frac{1}{y})$ với $1$ .

$y (\sin (\frac{1}{y}) \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.5

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$y (\sin (\frac{1}{y}) \frac{y'}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.6

Kết hợp $\sin (\frac{1}{y})$ và $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$y \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.7

Kết hợp $y$ và $\frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y (\sin (\frac{1}{y}) y')}{y^{2}} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.8

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\frac{y (\sin (\frac{1}{y}) y')}{y \cdot y} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (\sin (\frac{1}{y}) y')}{y \cdot y} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.8.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.9

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} + \cos (\frac{1}{y}) y'$

Bước 2.10

Sắp xếp lại các số hạng.

$\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y}$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 x + 9 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9 y]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9 y]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 y]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 y]$

Bước 3.2.3

Nhân $9$ với $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [9 y]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [9 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 y$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$9 + 9 \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$9 + 9 y'$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$9 y' + 9$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} = 9 y' + 9$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, y, 1, 1$

Bước 5.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$y$

Bước 5.2

Nhân mỗi số hạng trong $\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} = 9 y' + 9$ với $y$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} = 9 y' + 9$ với $y$ .

$\cos (\frac{1}{y}) y' y + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} y = 9 y' y + 9 y$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (\frac{1}{y}) y' y + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} y = 9 y' y + 9 y$

Bước 5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (\frac{1}{y}) y' y + \sin (\frac{1}{y}) y' = 9 y' y + 9 y$

Bước 5.2.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\cos (\frac{1}{y}) y' y + \sin (\frac{1}{y}) y'$ .

$y' y \cos (\frac{1}{y}) + y' \sin (\frac{1}{y}) = 9 y' y + 9 y$

Bước 5.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $9 y' y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' y \cos (\frac{1}{y}) + y' \sin (\frac{1}{y}) - 9 y' y = 9 y$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $y' y \cos (\frac{1}{y}) + y' \sin (\frac{1}{y}) - 9 y' y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $y' y \cos (\frac{1}{y})$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y})) - 9 y' y = 9 y$

Bước 5.3.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \sin (\frac{1}{y})$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y})) - 9 y' y = 9 y$

Bước 5.3.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $- 9 y' y$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y})) + y' (- 9 y) = 9 y$

Bước 5.3.2.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y}))$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y})) + y' (- 9 y) = 9 y$

Bước 5.3.2.5

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y})) + y' (- 9 y)$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y) = 9 y$

Bước 5.3.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y) = 9 y$ cho $y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y) = 9 y$ cho $y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y$ .

$\frac{y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y)}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y} = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$

Bước 5.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y)}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y} = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$

Bước 5.3.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$