Giải tích Ví dụ

$y = 2 x^{2} - \sqrt{x} + \frac{5}{x^{2}} + 6$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2 x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 6$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 6)$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.3.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 x - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.3.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 x - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.3.9

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5}{x^{2}}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.4.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.4.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.4.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.4.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.4.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.4.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.4.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.4.10

Nhân $- 2$ với $5$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 4.5

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 x^{- 3} + 0$

Bước 4.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Bước 4.6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Kết hợp $- 10$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 10}{x^{3}} + 0$

Bước 4.6.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{x^{3}} + 0$

Bước 4.6.2.3

Cộng $4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{x^{3}}$ và $0$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{x^{3}}$

Bước 4.6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 x - \frac{10}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 4 x - \frac{10}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x - \frac{10}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$