Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} - x$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{\frac{2}{3}} - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.5.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 1$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Bước 1.1.4.2

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$

Bước 2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$

Bước 2.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Bước 2.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 2.4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ với $3 x^{\frac{1}{3}}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ với $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$2 = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Nhân $3 x^{\frac{1}{3}}$ với $1$ .

$2 = 3 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 2.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$3 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Bước 2.5.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ cho $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{3}$

Bước 2.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{3}$

Bước 2.5.2.2.2

Chia $x^{\frac{1}{3}}$ cho $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$

Bước 2.5.3

Lấy mũ lũy thừa $3$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Bước 2.5.4

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Bước 2.5.4.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Bước 2.5.4.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Bước 2.5.4.1.1.2

Rút gọn.

$x = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Bước 2.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.2.1

Rút gọn ${(\frac{2}{3})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2^{3}}{3^{3}}$

Bước 2.5.4.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$x = \frac{8}{3^{3}}$

Bước 2.5.4.2.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$x = \frac{8}{27}$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $\frac{8}{27}$ .

$\frac{8}{27}$

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} - 1$

Bước 4.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - 1$

Bước 4.2

Đặt mẫu số trong $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Bước 4.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Rút gọn ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.3.2.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.3.2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 4.3.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 4.3.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Bước 4.3.2.2.1.4

Rút gọn.

$27 x = 0^{3}$

Bước 4.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$27 x = 0$

Bước 4.3.3

Chia mỗi số hạng trong $27 x = 0$ cho $27$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $27 x = 0$ cho $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Bước 4.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Bước 4.3.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Bước 4.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.3.1

Chia $0$ cho $27$ .

$x = 0$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{8}{27}) \cup (\frac{8}{27}, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Bước 6.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}} - 1$

Bước 6.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}} - 1$

Bước 6.2.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 (- 1)} - 1$

Bước 6.2.1.1.4

Tính số mũ.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 \cdot - 1} - 1$

Bước 6.2.1.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{- 3} - 1$

Bước 6.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} - 1$

Bước 6.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 6.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Bước 6.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (- 1) = \frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}$

Bước 6.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2 - 3}{3}$

Bước 6.2.5.2

Trừ $3$ khỏi $- 2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 5}{3}$

Bước 6.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 1) = - \frac{5}{3}$

Bước 6.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3}$

Bước 6.3

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $- \frac{5}{3}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, 0)$ .

Giảm trên $(- \infty, 0)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \frac{8}{27})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.\overline{148}$ trong biểu thức.

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{3 {(0.\overline{148})}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $0.\overline{148}$ lên lũy thừa $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{3 \cdot 0.52913368} - 1$

Bước 7.2.1.2

Nhân $3$ với $0.52913368$ .

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{1.58740105} - 1$

Bước 7.2.1.3

Chia $2$ cho $1.58740105$ .

$f' (0.\overline{148}) = 1.25992104 - 1$

Bước 7.2.2

Trừ $1$ khỏi $1.25992104$ .

$f' (0.\overline{148}) = 0.25992104$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0.25992104$ .

$0.25992104$

Bước 7.3

Tại $x = 0.\overline{148}$ đạo hàm là $0.25992104$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(0, \frac{8}{27})$ .

Tăng trên $(0, \frac{8}{27})$ vì $f' (x) > 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{8}{27}, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.2962963$ trong biểu thức.

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3 {(1.2962963)}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $1.2962963$ lên lũy thừa $\frac{1}{3}$ .

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3 \cdot 1.09035543} - 1$

Bước 8.2.1.2

Nhân $3$ với $1.09035543$ .

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3.27106631} - 1$

Bước 8.2.1.3

Chia $2$ cho $3.27106631$ .

$f' (1.2962963) = 0.61142141 - 1$

Bước 8.2.2

Trừ $1$ khỏi $0.61142141$ .

$f' (1.2962963) = - 0.38857858$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.38857858$ .

$- 0.38857858$

Bước 8.3

Tại $x = 1.2962963$ đạo hàm là $- 0.38857858$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(\frac{8}{27}, \infty)$ .

Giảm trên $(\frac{8}{27}, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(0, \frac{8}{27})$

Giảm trên: $(- \infty, 0), (\frac{8}{27}, \infty)$

Bước 10