Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + a x + b}$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + a x + b} = f (x)$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + a x + b} = f (x)$

Bước 2

Phân tích $x^{2} - 4 x + 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $3$ và tổng của chúng là $- 4$ .

$- 3, - 1$

Bước 2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} = f (x)$

Bước 3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x^{2} + a x + b, 1$

Bước 3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x^{2} + a x + b, 1$

Bước 3.3

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{2} + a x + b$

Bước 4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} = f (x)$ với $x^{2} + a x + b$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} = f (x)$ với $x^{2} + a x + b$ .

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} (x^{2} + a x + b) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + a x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} (x^{2} + a x + b) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Bước 4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$(x - 3) (x - 1) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Bước 4.2.2

Khai triển $(x - 3) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (x - 1) - 3 (x - 1) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Bước 4.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 (x - 1) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Bước 4.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Bước 4.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Bước 4.2.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Bước 4.2.3.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$x^{2} - x - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Bước 4.2.3.1.4

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$x^{2} - x - 3 x + 3 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Bước 4.2.3.2

Trừ $3 x$ khỏi $- x$ .

$x^{2} - 4 x + 3 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 4 x + 3 = f (x) x^{2} + f (x) (a x) + f (x) b$

Bước 4.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x) x^{2} + f (x) a x + f (x) b$ .

$x^{2} - 4 x + 3 = x^{2} f (x) + a x f (x) + b f (x)$

Bước 5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{2} f (x) + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$ .

$x^{2} f (x) + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Di chuyển $x$ .

$x \cdot x^{2} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Bước 5.2.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{1} x^{2} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Bước 5.2.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{1 + 2} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Bước 5.2.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$x^{3} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Bước 5.2.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Di chuyển $x$ .

$x^{3} f + a (x \cdot x) f + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Bước 5.2.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{3} f + a x^{2} f + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Bước 5.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $b$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $x^{3} f$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$a x^{2} f + b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f$

Bước 5.3.2

Trừ $a x^{2} f$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f - a x^{2} f$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f - a x^{2} f$ cho $f x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f - a x^{2} f$ cho $f x$ .

$\frac{b f x}{f x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $f$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{b f x}{f x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{b x}{x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{b x}{x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.2.2.2

Chia $b$ cho $1$ .

$b = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$b = \frac{x \cdot x}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $f x$ .

$b = \frac{x \cdot x}{x f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$b = \frac{x \cdot x}{x f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$b = \frac{x}{f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$b = \frac{x}{f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$b = \frac{x}{f} + \frac{- 4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.3.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{3} f$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{x (- x^{2} f)}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.3.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $f x$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{x (- x^{2} f)}{x f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.3.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{x (- x^{2} f)}{x f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.3.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{2} f}{f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $f$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{2} f}{f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.3.1.5.2

Chia $- x^{2}$ cho $1$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Bước 5.4.3.1.6

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $- a x^{2} f$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{x (- a x f)}{f x}$

Bước 5.4.3.1.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.6.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $f x$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{x (- a x f)}{x f}$

Bước 5.4.3.1.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{x (- a x f)}{x f}$

Bước 5.4.3.1.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{- a x f}{f}$

Bước 5.4.3.1.7

Triệt tiêu thừa số chung $f$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{- a x f}{f}$

Bước 5.4.3.1.7.2

Chia $- a x$ cho $1$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} - a x$