Giải tích Ví dụ

$(1 - e^{z}) (z + e^{z})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ là $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ trong đó $f (z) = 1 - e^{z}$ và $g (z) = z + e^{z}$ .

$(1 - e^{z}) \frac{d}{d z} [z + e^{z}] + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $z + e^{z}$ đối với $z$ là $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(1 - e^{z}) (1 + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ là $a^{z} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - e^{z}$ đối với $z$ là $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

Bước 4.2

Vì $1$ là hằng số đối với $z$ , đạo hàm của $1$ đối với $z$ là $0$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (0 + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

Bước 4.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d z} [- e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [- e^{z}]$

Bước 4.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $z$ , nên đạo hàm của $- e^{z}$ đối với $z$ là $- \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- \frac{d}{d z} [e^{z}])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ là $a^{z} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- e^{z})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} (- e^{z})$

Bước 6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $e^{z}$ với $e^{z}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Di chuyển $e^{z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} e^{z} \cdot - 1$

Bước 6.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z + z} \cdot - 1$

Bước 6.2.1.3

Cộng $z$ và $z$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{2 z} \cdot - 1$

Bước 6.2.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{2 z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - 1 \cdot e^{2 z}$

Bước 6.2.3

Viết lại $- 1 e^{2 z}$ ở dạng $- e^{2 z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - e^{2 z}$

Bước 6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$(1 + e^{z}) (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Bước 6.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Khai triển $(1 + e^{z}) (1 - e^{z})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 (1 - e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Bước 6.4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Bước 6.4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Bước 6.4.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Bước 6.4.2.1.2

Nhân $- e^{z}$ với $1$ .

$1 - e^{z} + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Bước 6.4.2.1.3

Nhân $e^{z}$ với $1$ .

$1 - e^{z} + e^{z} + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Bước 6.4.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z} e^{z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Bước 6.4.2.1.5

Nhân $e^{z}$ với $e^{z}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.5.1

Di chuyển $e^{z}$ .

$1 - e^{z} + e^{z} - (e^{z} e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Bước 6.4.2.1.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z + z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Bước 6.4.2.1.5.3

Cộng $z$ và $z$ .

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Bước 6.4.2.2

Cộng $- e^{z}$ và $e^{z}$ .

$1 + 0 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Bước 6.4.2.3

Cộng $1$ và $0$ .

$1 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Bước 6.5

Trừ $e^{2 z}$ khỏi $- e^{2 z}$ .

$1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$

Bước 6.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$ .

$1 - z e^{z} - 2 e^{2 z}$