Giải tích Ví dụ

$\frac{6 \tan (t)}{7 + 7 \sec (t)}$

Bước 1

Vì $6$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{6 \tan (t)}{7 + 7 \sec (t)}$ đối với $t$ là $6 \frac{d}{d t} [\frac{\tan (t)}{7 + 7 \sec (t)}]$ .

$6 \frac{d}{d t} [\frac{\tan (t)}{7 + 7 \sec (t)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = \tan (t)$ và $g (t) = 7 + 7 \sec (t)$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \frac{d}{d t} [\tan (t)] - \tan (t) \frac{d}{d t} [7 + 7 \sec (t)]}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 3

Đạo hàm của $\tan (t)$ đối với $t$ là $\sec^{2} (t)$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) \frac{d}{d t} [7 + 7 \sec (t)]}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 + 7 \sec (t)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [7 \sec (t)]$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [7 \sec (t)])}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 4.2

Vì $7$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $7$ đối với $t$ là $0$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (0 + \frac{d}{d t} [7 \sec (t)])}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 4.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [7 \sec (t)]$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) \frac{d}{d t} [7 \sec (t)]}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 4.4

Vì $7$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $7 \sec (t)$ đối với $t$ là $7 \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (7 \frac{d}{d t} [\sec (t)])}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 4.5

Nhân $7$ với $- 1$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 7 \tan (t) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 5

Đạo hàm của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\sec (t) \tan (t)$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 7 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 6

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 7 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 7

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 7 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 7 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 9

Cộng $1$ và $1$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 7 \tan^{2} (t) \sec (t)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 10

Kết hợp $6$ và $\frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 7 \tan^{2} (t) \sec (t)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$ .

$\frac{6 ((7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 7 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{6 (7 \sec^{2} (t) + 7 \sec (t) \sec^{2} (t) - 7 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{6 (7 \sec^{2} (t)) + 6 (7 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 6 (- 7 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Đưa $6 \sec (t)$ ra ngoài $6 (7 \sec^{2} (t)) + 6 (7 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 6 (- 7 \tan^{2} (t) \sec (t))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1

Đưa $6 \sec (t)$ ra ngoài $6 (7 \sec^{2} (t))$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t)) + 6 (7 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 6 (- 7 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3.1.2

Đưa $6 \sec (t)$ ra ngoài $6 (7 \sec (t) \sec^{2} (t))$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t)) + 6 \sec (t) (7 \sec^{2} (t)) + 6 (- 7 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3.1.3

Đưa $6 \sec (t)$ ra ngoài $6 (- 7 \tan^{2} (t) \sec (t))$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t)) + 6 \sec (t) (7 \sec^{2} (t)) + 6 \sec (t) (- 7 \tan^{2} (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3.1.4

Đưa $6 \sec (t)$ ra ngoài $6 \sec (t) (7 \sec (t)) + 6 \sec (t) (7 \sec^{2} (t))$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t) + 7 \sec^{2} (t)) + 6 \sec (t) (- 7 \tan^{2} (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3.1.5

Đưa $6 \sec (t)$ ra ngoài $6 \sec (t) (7 \sec (t) + 7 \sec^{2} (t)) + 6 \sec (t) (- 7 \tan^{2} (t))$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t) + 7 \sec^{2} (t) - 7 \tan^{2} (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3.2

Đưa $7$ ra ngoài $7 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t) + 7 (\sec^{2} (t)) - 7 \tan^{2} (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3.3

Đưa $7$ ra ngoài $- 7 \tan^{2} (t)$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t) + 7 (\sec^{2} (t)) + 7 (- \tan^{2} (t)))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3.4

Đưa $7$ ra ngoài $7 (\sec^{2} (t)) + 7 (- \tan^{2} (t))$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t) + 7 (\sec^{2} (t) - \tan^{2} (t)))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t) + 7 \cdot 1)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3.6

Nhân $7$ với $1$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t) + 7)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t)) + 6 \sec (t) \cdot 7}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3.8

Nhân $6 \sec (t) (7 \sec (t))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.8.1

Nhân $7$ với $6$ .

$\frac{42 \sec (t) \sec (t) + 6 \sec (t) \cdot 7}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3.8.2

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{42 (\sec^{1} (t) \sec (t)) + 6 \sec (t) \cdot 7}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3.8.3

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{42 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) + 6 \sec (t) \cdot 7}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3.8.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{42 {\sec (t)}^{1 + 1} + 6 \sec (t) \cdot 7}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3.8.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{42 \sec^{2} (t) + 6 \sec (t) \cdot 7}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.3.9

Nhân $7$ với $6$ .

$\frac{42 \sec^{2} (t) + 42 \sec (t)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.4

Đưa $42 \sec (t)$ ra ngoài $42 \sec^{2} (t) + 42 \sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Đưa $42 \sec (t)$ ra ngoài $42 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{42 \sec (t) (\sec (t)) + 42 \sec (t)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.4.2

Đưa $42 \sec (t)$ ra ngoài $42 \sec (t)$ .

$\frac{42 \sec (t) (\sec (t)) + 42 \sec (t) (1)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.4.3

Đưa $42 \sec (t)$ ra ngoài $42 \sec (t) (\sec (t)) + 42 \sec (t) (1)$ .

$\frac{42 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Đưa $7$ ra ngoài $7 + 7 \sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1.1

Đưa $7$ ra ngoài $7$ .

$\frac{42 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(7 \cdot 1 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.5.1.2

Đưa $7$ ra ngoài $7 \cdot 1 + 7 \sec (t)$ .

$\frac{42 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(7 (1 + \sec (t)))}^{2}}$

Bước 11.5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $7 (1 + \sec (t))$ .

$\frac{42 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{7^{2} {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.5.3

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{42 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{49 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.6

Triệt tiêu thừa số chung của $42$ và $49$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Đưa $7$ ra ngoài $42 \sec (t) (\sec (t) + 1)$ .

$\frac{7 (6 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{49 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.2.1

Đưa $7$ ra ngoài $49 {(1 + \sec (t))}^{2}$ .

$\frac{7 (6 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{7 (7 {(1 + \sec (t))}^{2})}$

Bước 11.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7 (6 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{7 (7 {(1 + \sec (t))}^{2})}$

Bước 11.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{7 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.7

Triệt tiêu thừa số chung của $\sec (t) + 1$ và ${(1 + \sec (t))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.7.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{6 \sec (t) (1 + \sec (t))}{7 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.7.2

Đưa $1 + \sec (t)$ ra ngoài $6 \sec (t) (1 + \sec (t))$ .

$\frac{(1 + \sec (t)) (6 \sec (t))}{7 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Bước 11.7.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.7.3.1

Đưa $1 + \sec (t)$ ra ngoài $7 {(1 + \sec (t))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sec (t)) (6 \sec (t))}{(1 + \sec (t)) (7 (1 + \sec (t)))}$

Bước 11.7.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 + \sec (t)) (6 \sec (t))}{(1 + \sec (t)) (7 (1 + \sec (t)))}$

Bước 11.7.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6 \sec (t)}{7 (1 + \sec (t))}$