Giải tích Ví dụ

${(x + y^{2})}^{10} = 3 x^{2} + 7$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} ({(x + y^{2})}^{10}) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 7)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{10}$ và $g (x) = x + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d x} [x + y^{2}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 10$ .

$10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d x} [x + y^{2}]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + y^{2}$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} \frac{d}{d x} [x + y^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7]$

Bước 3.2.3

Nhân $2$ với $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [7]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$6 x + 0$

Bước 3.3.2

Cộng $6 x$ và $0$ .

$6 x$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y') = 6 x$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y') = 6 x$ cho $10 {(x + y^{2})}^{9}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Chia mỗi số hạng trong $10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y') = 6 x$ cho $10 {(x + y^{2})}^{9}$ .

$\frac{10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{10 {(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Bước 5.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{10 {(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Bước 5.1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{{(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Bước 5.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + y^{2})}^{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{{(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Bước 5.1.2.2.2

Chia $1 + 2 y y'$ cho $1$ .

$1 + 2 y y' = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Bước 5.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x$ .

$1 + 2 y y' = \frac{2 (3 x)}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Bước 5.1.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10 {(x + y^{2})}^{9}$ .

$1 + 2 y y' = \frac{2 (3 x)}{2 (5 {(x + y^{2})}^{9})}$

Bước 5.1.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + 2 y y' = \frac{2 (3 x)}{2 (5 {(x + y^{2})}^{9})}$

Bước 5.1.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$1 + 2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$

Bước 5.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1$ cho $2 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1$ cho $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1}{2 y}$

Bước 5.3.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$ .

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1 \cdot \frac{5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

Bước 5.3.3.2.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$ .

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} + \frac{- (5 {(x + y^{2})}^{9})}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

Bước 5.3.3.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{\frac{3 x - (5 {(x + y^{2})}^{9})}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

Bước 5.3.3.2.4

Nhân $- 1$ với $5$ .

$y' = \frac{\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

Bước 5.3.3.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Bước 5.3.3.4

Nhân $\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}} \cdot \frac{1}{2 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Nhân $\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$ với $\frac{1}{2 y}$ .

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9} (2 y)}$

Bước 5.3.3.4.2

Nhân $2$ với $5$ .

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 {(x + y^{2})}^{9} y}$

Bước 5.3.3.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 {(x + y^{2})}^{9} y}$ .

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 y {(x + y^{2})}^{9}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 y {(x + y^{2})}^{9}}$