Giải tích Ví dụ

$y = 2 x \arcsin (x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x \arcsin (x))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x \arcsin (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x \arcsin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \arcsin (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \arcsin (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\arcsin (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$2 (x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$2 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \cdot 1)$

Bước 3.4.3

Nhân $\arcsin (x)$ với $1$ .

$2 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x))$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 \arcsin (x)$

Bước 3.5.2

Kết hợp $2$ và $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 \arcsin (x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 \arcsin (x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 \arcsin (x)$