Giải tích Ví dụ

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{y^{4}}{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3} y') + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2.4

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} (y^{3} y') + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2.5

Kết hợp $y^{3}$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{3} \cdot 4}{4} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2.6

Kết hợp $\frac{y^{3} \cdot 4}{4}$ và $y'$ .

$\frac{y^{3} \cdot 4 y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2.7

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $y^{3}$ .

$\frac{4 \cdot y^{3} y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 y^{3} y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2.8.2

Chia $y^{3} y'$ cho $1$ .

$y^{3} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{8 y^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1$ và $g (x) = y^{2}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.5

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.6

Nhân $y^{2}$ với $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - 2 (y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.9

Trừ $2 y y'$ khỏi $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.10

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.10.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{y^{2 \cdot 2}}$

Bước 3.3.10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{y^{4}}$

Bước 3.3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $y$ và $y^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.11.1

Đưa $y$ ra ngoài $- 2 y y'$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y^{4}}$

Bước 3.3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.11.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{4}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Bước 3.3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Bước 3.3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y'}{y^{3}}$

Bước 3.3.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} (- \frac{(2) y'}{y^{3}})$

Bước 3.3.13

Nhân $\frac{1}{8}$ với $\frac{2 y'}{y^{3}}$ .

$y^{3} y' - \frac{2 y'}{8 y^{3}}$

Bước 3.3.14

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y'$ .

$y^{3} y' - \frac{2 (y')}{8 y^{3}}$

Bước 3.3.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.14.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 y^{3}$ .

$y^{3} y' - \frac{2 (y')}{2 (4 y^{3})}$

Bước 3.3.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{3} y' - \frac{2 y'}{2 (4 y^{3})}$

Bước 3.3.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ .

$y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$

Bước 5.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, 4 y^{3}, 1$

Bước 5.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$4 y^{3}$

Bước 5.3

Nhân mỗi số hạng trong $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ với $4 y^{3}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ với $4 y^{3}$ .

$y^{3} y' (4 y^{3}) - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 y^{3} y' y^{3} - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Bước 5.3.2.1.2

Nhân $y^{3}$ với $y^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.2.1

Di chuyển $y^{3}$ .

$4 (y^{3} y^{3}) y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Bước 5.3.2.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 y^{3 + 3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Bước 5.3.2.1.2.3

Cộng $3$ và $3$ .

$4 y^{6} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Bước 5.3.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $4 y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{y'}{4 y^{3}}$ vào tử số.

$4 y^{6} y' + \frac{- y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Bước 5.3.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 y^{6} y' + \frac{- y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Bước 5.3.2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$4 y^{6} y' - y' = 1 (4 y^{3})$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Nhân $4 y^{3}$ với $1$ .

$4 y^{6} y' - y' = 4 y^{3}$

Bước 5.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $y'$ ra ngoài $4 y^{6} y' - y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Đưa $y'$ ra ngoài $4 y^{6} y'$ .

$y' (4 y^{6}) - y' = 4 y^{3}$

Bước 5.4.1.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- y'$ .

$y' (4 y^{6}) + y' \cdot - 1 = 4 y^{3}$

Bước 5.4.1.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (4 y^{6}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y^{6} - 1) = 4 y^{3}$

Bước 5.4.2

Viết lại $4 y^{6}$ ở dạng ${(2 y^{3})}^{2}$ .

$y' ({(2 y^{3})}^{2} - 1) = 4 y^{3}$

Bước 5.4.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y' ({(2 y^{3})}^{2} - 1^{2}) = 4 y^{3}$

Bước 5.4.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2 y^{3}$ và $b = 1$ .

$y' ((2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)) = 4 y^{3}$

Bước 5.4.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$

Bước 5.4.5

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$ cho $(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$ cho $(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)$ .

$\frac{y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Bước 5.4.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 y^{3} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Bước 5.4.5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Bước 5.4.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 y^{3} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Bước 5.4.5.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$