Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{x^{2} + x}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} + x})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $\frac{1}{x^{2} + x}$ ở dạng ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{- 1}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + x$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + 1)$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$

Bước 3.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$ .

$- (2 x + 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Bước 3.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Bước 3.4.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Bước 3.4.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Bước 3.4.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x)}^{2}}$

Bước 3.4.6.1.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x^{1})}^{2}}$

Bước 3.4.6.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2}}$

Bước 3.4.6.1.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}}$

Bước 3.4.6.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $x (x + 1)$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.7

Nhân $- 2 x - 1$ với $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.9

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.11

Viết lại $- (2 x + 1)$ ở dạng $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$