Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{x} (3 x^{2} - 2 x^{3})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x^{2} - 2 x^{3}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x^{3}] + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} - 2 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{x} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{x} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.4

Nhân $2$ với $3$ .

$e^{x} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.5

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{3}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{x} (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$e^{x} (6 x - 2 (3 x^{2})) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.7

Nhân $3$ với $- 2$ .

$e^{x} (6 x - 6 x^{2}) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} (6 x - 6 x^{2}) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) e^{x}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x} (6 x) + e^{x} (- 6 x^{2}) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) e^{x}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x} (6 x) + e^{x} (- 6 x^{2}) + 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$

Bước 4.3

Cộng $e^{x} (- 6 x^{2})$ và $3 x^{2} e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$e^{x} (6 x) - 6 x^{2} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$

Bước 4.3.2

Cộng $- 6 x^{2} e^{x}$ và $3 x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} (6 x) - 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 e^{x} x - 3 e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x^{3}$

Bước 4.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $6 e^{x} x - 3 e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x^{3}$ .

$6 x e^{x} - 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$