Giải tích Ví dụ

$\frac{(x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x}{x^{2} - 4 x + 4}$

Bước 1

Vì $d$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $d$ ra khỏi tích phân.

$d \int \frac{(x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1) x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Bước 2

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$d \int \frac{(x^{3} - 3 x^{2} + 2 x) x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$d \int \frac{(x^{3} - 3 x^{2}) x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$d \int \frac{x^{3} x - 3 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Bước 3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$d \int \frac{x^{3} x^{1} - 3 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$d \int \frac{x^{3 + 1} - 3 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Bước 5

Cộng $3$ và $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Bước 6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Bước 7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{2 + 1} + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Bước 8

Cộng $2$ và $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Bước 9

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 (x^{1} x) - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Bước 10

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Bước 11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{1 + 1} - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Bước 12

Cộng $1$ và $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Bước 13

Chia $x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 1 x$ cho $x^{2} - 4 x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

Bước 13.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{4}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

Bước 13.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Bước 13.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Bước 13.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Bước 13.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

Bước 13.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

$x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

Bước 13.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

Bước 13.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$

$x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

Bước 13.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

Bước 13.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

$0$

Bước 13.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $2 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

$0$

Bước 13.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

$0$

$2 x^{2}$

$8 x$

$8$

Bước 13.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $2 x^{2} - 8 x + 8$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

$0$

$2 x^{2}$

$8 x$

$8$

Bước 13.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

$0$

$2 x^{2}$

$8 x$

$8$

$3 x$

$8$

Bước 13.16

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$d \int x^{2} + x + 2 + \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Bước 14

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$d (\int x^{2} d x + \int x d x + \int 2 d x + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Bước 15

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$d (\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x d x + \int 2 d x + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Bước 16

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 d x + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 d x + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Bước 17.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + \int 2 d x + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Bước 18

Áp dụng quy tắc hằng số.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Bước 19

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Bước 19.1.1.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Bước 19.1.1.3

Viết lại đa thức này.

$\frac{3 x - 8}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Bước 19.1.1.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$\frac{3 x - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 19.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 19.1.3

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Bước 19.1.4

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(3 x - 8) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Bước 19.1.5

Triệt tiêu thừa số chung ${(x - 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(3 x - 8) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Bước 19.1.5.2

Chia $3 x - 8$ cho $1$ .

$3 x - 8 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Bước 19.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(x - 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 x - 8 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Bước 19.1.6.1.2

Chia $A$ cho $1$ .

$3 x - 8 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Bước 19.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(x - 2)}^{2}$ và $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.6.2.1

Đưa $x - 2$ ra ngoài $(B) {(x - 2)}^{2}$ .

$3 x - 8 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Bước 19.1.6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.6.2.2.1

Nhân với $1$ .

$3 x - 8 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Bước 19.1.6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 x - 8 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Bước 19.1.6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 x - 8 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Bước 19.1.6.2.2.4

Chia $B (x - 2)$ cho $1$ .

$3 x - 8 = A + B (x - 2)$

Bước 19.1.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x - 8 = A + B x + B \cdot - 2$

Bước 19.1.6.4

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $B$ .

$3 x - 8 = A + B x - 2 B$

Bước 19.1.7

Sắp xếp lại $A$ và $B x$ .

$3 x - 8 = B x + A - 2 B$

Bước 19.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$3 = B$

Bước 19.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$- 8 = A - 2 B$

Bước 19.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$3 = B$

$- 8 = A - 2 B$

$3 = B$

$- 8 = A - 2 B$

Bước 19.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $B = 3$ .

$B = 3$

$- 8 = A - 2 B$

Bước 19.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $3$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $- 8 = A - 2 B$ bằng $3$ .

$- 8 = A - 2 \cdot 3$

$B = 3$

Bước 19.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.2.2.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$- 8 = A - 6$

$B = 3$

$- 8 = A - 6$

$B = 3$

$- 8 = A - 6$

$B = 3$

Bước 19.3.3

Giải tìm $A$ trong $- 8 = A - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $A - 6 = - 8$ .

$A - 6 = - 8$

$B = 3$

Bước 19.3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $A$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.3.2.1

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$A = - 8 + 6$

$B = 3$

Bước 19.3.3.2.2

Cộng $- 8$ và $6$ .

$A = - 2$

$B = 3$

$A = - 2$

$B = 3$

$A = - 2$

$B = 3$

Bước 19.3.4

Giải hệ phương trình.

$A = - 2 B = 3$

Bước 19.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$A = - 2, B = 3$

Bước 19.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{- 2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3}{x - 2}$

Bước 19.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C + \int - \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3}{x - 2} d x)$

Bước 20

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C + \int - \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Bước 21

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - \int \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Bước 22

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - (2 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x) + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Bước 23

Nhân $2$ với $- 1$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Bước 24

Giả sử $u_{1} = x - 2$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Hãy đặt $u_{1} = x - 2$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.1

Tính đạo hàm $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 24.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 24.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 24.1.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 24.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 24.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Bước 25

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1

Di chuyển ${u_{1}}^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Bước 25.2

Nhân các số mũ trong ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Bước 25.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Bước 26

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{1}}^{- 2}$ đối với $u_{1}$ là $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Bước 27

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Bước 28

Giả sử $u_{2} = x - 2$ . Sau đó $d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.1

Hãy đặt $u_{2} = x - 2$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.1.1

Tính đạo hàm $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 28.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 28.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 28.1.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 28.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 28.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 29

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C))$

Bước 30

Rút gọn.

$d (\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{2}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |)) + C$

Bước 31

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 31.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x - 2$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{2}{x - 2} + 3 \ln (| u_{2} |)) + C$

Bước 31.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - 2$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{2}{x - 2} + 3 \ln (| x - 2 |)) + C$

Bước 32

Sắp xếp lại các số hạng.

$d (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{2}{x - 2} + 3 \ln (| x - 2 |)) + C$