Giải tích Ví dụ

$3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$

Bước 1

Viết $3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ và $g (x) = x - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 4$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 4$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)))) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)))) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.5

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.9.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.9.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.11

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.12

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.13

Nhân $\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ với $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.14

Di chuyển ${(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.15

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.16

Nhân $3$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{6}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.17

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.18

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.18.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 ({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.18.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.2.18.3

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Bước 2.1.3.2

Cộng $\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Bước 3.2

Cho tử bằng không.

$2 = 0$

Bước 3.3

Vì $2 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 4

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 5

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{2}{\sqrt[3]{{(x - 4)}^{1}}}$

Bước 5.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x - 4}}$

Bước 5.2

Đặt mẫu số trong $\frac{2}{\sqrt[3]{x - 4}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt[3]{x - 4} = 0$

Bước 5.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{x - 4}}^{3} = 0^{3}$

Bước 5.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x - 4}$ ở dạng ${(x - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 5.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Rút gọn ${({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(x - 4)}^{1} = 0^{3}$

Bước 5.3.2.2.1.2

Rút gọn.

$x - 4 = 0^{3}$

Bước 5.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 5.3.3

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 6

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = 3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 4)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f' (3) = \frac{2}{{((3) - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$f' (3) = \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 7.2.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (3) = \frac{2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 7.2.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Bước 7.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (3) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Bước 7.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$f' (3) = \frac{2}{- 1}$

Bước 7.2.1.5

Tính số mũ.

$f' (3) = \frac{2}{- 1}$

Bước 7.2.2

Chia $2$ cho $- 1$ .

$f' (3) = - 2$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 2$ .

$- 2$

Bước 7.3

Tại $x = 3$ đạo hàm là $- 2$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, 4)$ .

Giảm trên $(- \infty, 4)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(4, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $5$ trong biểu thức.

$f' (5) = \frac{2}{{((5) - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Trừ $4$ khỏi $5$ .

$f' (5) = \frac{2}{1^{\frac{1}{3}}}$

Bước 8.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (5) = \frac{2}{1}$

Bước 8.2.2

Chia $2$ cho $1$ .

$f' (5) = 2$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 8.3

Tại $x = 5$ đạo hàm là $2$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(4, \infty)$ .

Tăng trên $(4, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(4, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, 4)$

Bước 10