Giải tích Ví dụ

$y = \frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 3.6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 3.7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 3.7.2

Nhân $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 3.7.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 3.7.3.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 3.7.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 3.7.5

Chia ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 3.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.10

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 0)$

Bước 3.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Bước 3.11.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$

Bước 3.11.3

Sắp xếp lại các thừa số của $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ .

$2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$