Giải tích Ví dụ

$\sqrt{1 - x^{2}}$

Bước 1

Viết $\sqrt{1 - x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Bước 4

Giả sử $x = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 5.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Bước 5.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Bước 5.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 5.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Bước 6

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 10

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 10.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 11

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Bước 13

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 14

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 15

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 15.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 15.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 \arcsin (x))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Bước 16.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Bước 16.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Bước 16.4

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

Bước 16.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

Bước 18

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$