Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 4 x}}{4 x + 1}$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x^{2} + 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x (x) + 4 x}}{4 x + 1}$

Bước 1.1.2

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x (x) + 4 x (1)}}{4 x + 1}$

Bước 1.1.3

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x (x) + 4 x (1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x (x + 1)}}{4 x + 1}$

Bước 1.2

Viết lại $4 x (x + 1)$ ở dạng $2^{2} (x (x + 1^{2}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2^{2} x (x + 1)}}{4 x + 1}$

Bước 1.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2^{2} x (x + 1^{2})}}{4 x + 1}$

Bước 1.2.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2^{2} (x (x + 1^{2}))}}{4 x + 1}$

Bước 1.3

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x (x + 1^{2})}}{4 x + 1}$

Bước 1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x (x + 1)}}{4 x + 1}$

Bước 2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x (x + 1)}}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x (x + 1)}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.2

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Nhân $x$ với $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x^{2} + x \cdot 1}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.2.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x^{2} + x}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x^{2} + x}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.5

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x + x}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.5.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.5.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 3.5.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (x + 1)}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 4

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 7.2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 8

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 9

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 9.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 9.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 9.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 9.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 9.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 10

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 11

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Bước 11.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 11.4

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 12

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{4 + 0}$

Bước 13

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Chia $1 + 0$ cho $1$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{1 + 0}}{1}}{4 + 0}$

Bước 13.2

Chia $\sqrt{1 + 0}$ cho $1$ .

$\frac{2 \sqrt{1 + 0}}{4 + 0}$

Bước 13.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4 + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{1 + 0}$ .

$\frac{2 (\sqrt{1 + 0})}{4 + 0}$

Bước 13.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \sqrt{1 + 0}}{2 \cdot 2 + 0}$

Bước 13.3.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{2 (\sqrt{1 + 0})}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 0}$

Bước 13.3.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 2 + 2 \cdot 0$ .

$\frac{2 (\sqrt{1 + 0})}{2 \cdot (2 + 0)}$

Bước 13.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{1 + 0}}{2 \cdot (2 + 0)}$

Bước 13.3.2.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{2 + 0}$

Bước 13.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\sqrt{1}}{2 + 0}$

Bước 13.4.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Bước 13.5

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$