Giải tích Ví dụ

$y = x^{3}$ , $[0, 5]$

Bước 1

Giá trị hiệu dụng (RMS) của một hàm số $f$ trong một khoảng xác định $[a, b]$ là căn bậc hai của trung bình cộng (trung bình) của bình phương của các giá trị ban đầu.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Bước 2

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị hiệu dụng của một hàm số.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{5 - 0} \cdot (\int_{0}^{5} {(x^{3})}^{2} d x)}$

Bước 3

Tính tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{5} x^{3 \cdot 2} d x$

Bước 3.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\int_{0}^{5} x^{6} d x$

Bước 3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{6}$ đối với $x$ là $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{5}$

Bước 3.3

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tính $\frac{1}{7} x^{7}$ tại $5$ và tại $0$ .

$(\frac{1}{7} \cdot 5^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7}$

Bước 3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $7$ .

$\frac{1}{7} \cdot 78125 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7}$

Bước 3.3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $78125$ .

$\frac{78125}{7} - \frac{1}{7} \cdot 0^{7}$

Bước 3.3.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{78125}{7} - \frac{1}{7} \cdot 0$

Bước 3.3.2.4

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{78125}{7} + 0 (\frac{1}{7})$

Bước 3.3.2.5

Nhân $0$ với $\frac{1}{7}$ .

$\frac{78125}{7} + 0$

Bước 3.3.2.6

Cộng $\frac{78125}{7}$ và $0$ .

$\frac{78125}{7}$

Bước 4

Rút gọn công thức giá trị hiệu dụng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{1}{5 - 0}$ với $\frac{78125}{7}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{78125}{(5 - 0) \cdot 7}}$

Bước 4.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{78125}{(5 + 0) \cdot 7}}$

Bước 4.2.2

Cộng $5$ và $0$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{78125}{5 \cdot 7}}$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức $\frac{78125}{5 \cdot 7}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa $5$ ra ngoài $78125$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 15625}{5 \cdot 7}}$

Bước 4.3.2

Đưa $5$ ra ngoài $5 \cdot 7$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 15625}{5 (7)}}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 15625}{5 \cdot 7}}$

Bước 4.3.4

Viết lại biểu thức.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{15625}{7}}$

Bước 4.4

Viết lại $\sqrt{\frac{15625}{7}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{15625}}{\sqrt{7}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{15625}}{\sqrt{7}}$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Viết lại $15625$ ở dạng $125^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{125^{2}}}{\sqrt{7}}$

Bước 4.5.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f_{rms} = \frac{125}{\sqrt{7}}$

Bước 4.6

Nhân $\frac{125}{\sqrt{7}}$ với $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$f_{rms} = \frac{125}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Bước 4.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $\frac{125}{\sqrt{7}}$ với $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Bước 4.7.2

Nâng $\sqrt{7}$ lên lũy thừa $1$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Bước 4.7.3

Nâng $\sqrt{7}$ lên lũy thừa $1$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Bước 4.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Bước 4.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Bước 4.7.6

Viết lại ${\sqrt{7}}^{2}$ ở dạng $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{7}$ ở dạng $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7}$

Bước 4.7.6.5

Tính số mũ.

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7}$

Dạng thập phân:

$f_{rms} = 47.24555912 \dots$

Bước 6