Giải tích Ví dụ

$\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$

Bước 1

Tìm nơi biểu thức $\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ không xác định.

$x = - 1$

Bước 2

Tính $lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ để tìm tiệm cận ngang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn đối số giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - \frac{1}{e}}$

Bước 2.1.1.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Để viết $e^{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e}{e}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e}{e} - \frac{1}{e}}$

Bước 2.1.1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e - 1}{e}}$

Bước 2.1.2

Rút gọn đối số giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e - 1}$

Bước 2.1.2.2

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Nhân $e^{x}$ với $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e^{1} - 1}$

Bước 2.1.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x + 1} - 1}$

Bước 2.1.2.2.2

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{e}{e^{x + 1} - 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e}{e^{x + 1} - 1}$

Bước 2.1.2.2.3

Nhân $e^{x}$ với $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.3.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e^{1}}{e^{x + 1} - 1}$

Bước 2.1.2.2.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x + 1}}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

Bước 2.2.1.2

Vì số mũ $x + 1$ tiến dần đến $\infty$ , nên số lượng $e^{x + 1}$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

Bước 2.2.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 2.2.1.3.2

Vì số mũ $x + 1$ tiến dần đến $\infty$ , nên số lượng $e^{x + 1}$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 2.2.1.3.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.3.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 1}$

Bước 2.2.1.3.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.3.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1}$

Bước 2.2.1.3.3.2.2

Vô cùng cộng hoặc trừ một số là vô cùng.

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 2.2.1.3.3.2.3

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 2.2.1.3.3.3

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 2.2.1.3.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 2.2.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 2.2.2

Vì $\frac{\infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Bước 2.2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Bước 2.2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Bước 2.2.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Bước 2.2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Bước 2.2.3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Bước 2.2.3.6

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Bước 2.2.3.7

Nhân $e^{x + 1}$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Bước 2.2.3.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x + 1} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 2.2.3.9

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.9.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.9.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 2.2.3.9.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 2.2.3.9.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 2.2.3.9.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 2.2.3.9.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 2.2.3.9.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 2.2.3.9.5

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 2.2.3.9.6

Nhân $e^{x + 1}$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 2.2.3.10

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + 0}$

Bước 2.2.3.11

Cộng $e^{x + 1}$ và $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

Bước 2.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} 1$

Bước 2.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$1$

Bước 3

Tính $lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ để tìm tiệm cận ngang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

Bước 3.2

Vì số mũ $x$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

Bước 3.4

Vì số mũ $x$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

Bước 3.5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Tính giới hạn của $e^{- 1}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{0}{0 - e^{- 1}}$

Bước 3.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{0 - \frac{1}{e}}$

Bước 3.5.2.1.2

Trừ $\frac{1}{e}$ khỏi $0$ .

$\frac{0}{- \frac{1}{e}}$

Bước 3.5.2.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$0 (- e)$

Bước 3.5.2.3

Nhân $0 (- e)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0 e$

Bước 3.5.2.3.2

Nhân $0$ với $e$ .

$0$

Bước 4

Liệt kê các tiệm cận ngang:

$y = 1, 0$

Bước 5

Không có tiệm cận xiên vì bậc của tử số nhỏ hơn hoặc bằng bậc của mẫu số.

Không có các tiệm cận xiên

Bước 6

Đây là tập hợp của tất cả các tiệm cận.

Các tiệm cận đứng: $x = - 1$

Các tiệm cận ngang: $y = 1, 0$

Không có các tiệm cận xiên

Bước 7