Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sec (x)$ , $x = \frac{π}{4}$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $\frac{π}{4}$ vào cho $x$ .

$y = \sec (\frac{π}{4})$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \sec (\frac{π}{4})$

Bước 1.2.2

Rút gọn $\sec (\frac{π}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{4})$ là $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Bước 1.2.2.2

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 1.2.2.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 1.2.2.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 1.2.2.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 1.2.2.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 1.2.2.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 1.2.2.3.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.2.2.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.2.2.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.2.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.2.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 1.2.2.3.6.5

Tính số mũ.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 1.2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 1.2.2.4.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$y = \sqrt{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{π}{4}$ và $y = \sqrt{2}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Bước 2.2

Tính đạo hàm tại $x = \frac{π}{4}$ .

$\sec (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{4})$ là $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 2.3.2

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 2.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 2.3.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 2.3.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 2.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 2.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 2.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 2.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 2.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 2.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 2.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 2.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 2.3.4.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$\sqrt{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 2.3.5

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\sqrt{2} \cdot 1$

Bước 2.3.6

Nhân $\sqrt{2}$ với $1$ .

$\sqrt{2}$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $\sqrt{2}$ và một điểm đã cho $(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $\sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - \sqrt{2} = 0 + 0 + \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} x + \sqrt{2} (- \frac{π}{4})$

Bước 3.3.1.4

Kết hợp $\sqrt{2}$ và $\frac{π}{4}$ .

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4}$

Bước 3.3.2

Cộng $\sqrt{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2}$

Bước 3.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để viết $\sqrt{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 3.3.3.2

Kết hợp $\sqrt{2}$ và $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Bước 3.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \sqrt{2} x + \frac{- \sqrt{2} π + \sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Bước 3.3.3.4

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2}}{4}$

Bước 3.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{2} π$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π) + 4 \sqrt{2}}{4}$

Bước 3.3.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $4 \sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π) - (- 4 \sqrt{2})}{4}$

Bước 3.3.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sqrt{2} π) - (- 4 \sqrt{2})$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})}{4}$

Bước 3.3.3.8

Viết lại $- (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})$ ở dạng $- 1 (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- 1 (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})}{4}$

Bước 3.3.3.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{4}$

Bước 4