Giải tích Ví dụ

$16 x^{4} + 125 x$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $16 x^{4} + 125 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [16 x^{4}] + \frac{d}{d x} [125 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [16 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $16 x^{4}$ đối với $x$ là $16 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 16 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Bước 1.1.2.3

Nhân $4$ với $16$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + \frac{d}{d x} (125 x)$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [125 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $125$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $125 x$ đối với $x$ là $125 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $125$ với $1$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $64 x^{3} + 125$ .

$64 x^{3} + 125$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $64 x^{3} + 125 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$64 x^{3} + 125 = 0$

Bước 2.2

Trừ $125$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$64 x^{3} = - 125$

Bước 2.3

Cộng $125$ cho cả hai vế của phương trình.

$64 x^{3} + 125 = 0$

Bước 2.4

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại $64 x^{3}$ ở dạng ${(4 x)}^{3}$ .

${(4 x)}^{3} + 125 = 0$

Bước 2.4.2

Viết lại $125$ ở dạng $5^{3}$ .

${(4 x)}^{3} + 5^{3} = 0$

Bước 2.4.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = 4 x$ và $b = 5$ .

$(4 x + 5) ({(4 x)}^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Bước 2.4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 x$ .

$(4 x + 5) (4^{2} x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Bước 2.4.4.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Bước 2.4.4.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Bước 2.4.4.4

Nhân $5$ với $- 4$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 5^{2}) = 0$

Bước 2.4.4.5

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$

Bước 2.5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$4 x + 5 = 0$

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Bước 2.6

Đặt $4 x + 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đặt $4 x + 5$ bằng với $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Bước 2.6.2

Giải $4 x + 5 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x = - 5$

Bước 2.6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x = - 5$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = - 5$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Bước 2.6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Bước 2.6.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Bước 2.6.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{5}{4}$

Bước 2.7

Đặt $16 x^{2} - 20 x + 25$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Đặt $16 x^{2} - 20 x + 25$ bằng với $0$ .

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Bước 2.7.2

Giải $16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.7.2.2

Thay các giá trị $a = 16$ , $b = - 20$ , và $c = 25$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 25)}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.3.1.1

Nâng $- 20$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.3.1.2.2

Nhân $- 64$ với $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.3.1.3

Trừ $1600$ khỏi $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.3.1.4

Viết lại $- 1200$ ở dạng $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (1200)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.3.1.7

Viết lại $1200$ ở dạng $20^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.3.1.7.1

Đưa $400$ ra ngoài $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.3.1.7.2

Viết lại $400$ ở dạng $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.3.1.9

Di chuyển $20$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.3.2

Nhân $2$ với $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Bước 2.7.2.3.3

Rút gọn $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Bước 2.7.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.4.1.1

Nâng $- 20$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.4.1.2.2

Nhân $- 64$ với $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.4.1.3

Trừ $1600$ khỏi $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.4.1.4

Viết lại $- 1200$ ở dạng $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (1200)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.4.1.7

Viết lại $1200$ ở dạng $20^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.4.1.7.1

Đưa $400$ ra ngoài $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.4.1.7.2

Viết lại $400$ ở dạng $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.4.1.9

Di chuyển $20$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.4.2

Nhân $2$ với $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Bước 2.7.2.4.3

Rút gọn $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Bước 2.7.2.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}$

Bước 2.7.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.5.1.1

Nâng $- 20$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.5.1.2.2

Nhân $- 64$ với $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.5.1.3

Trừ $1600$ khỏi $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.5.1.4

Viết lại $- 1200$ ở dạng $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (1200)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.5.1.7

Viết lại $1200$ ở dạng $20^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.5.1.7.1

Đưa $400$ ra ngoài $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.5.1.7.2

Viết lại $400$ ở dạng $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.5.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.5.1.9

Di chuyển $20$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Bước 2.7.2.5.2

Nhân $2$ với $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Bước 2.7.2.5.3

Rút gọn $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Bước 2.7.2.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Bước 2.7.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Bước 2.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$ đúng.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $16 x^{4} + 125 x$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = - \frac{5}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $- \frac{5}{4}$ bằng $x$ .

$16 {(- \frac{5}{4})}^{4} + 125 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{5}{4}$ .

$16 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{4})}^{4}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.1.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5}{4}$ .

$16 ({(- 1)}^{4} \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.1.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$16 (1 \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.1.2.1.3

Nhân $\frac{5^{4}}{4^{4}}$ với $1$ .

$16 \frac{5^{4}}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.1.2.1.4

Nâng $5$ lên lũy thừa $4$ .

$16 \frac{625}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.1.2.1.5

Nâng $4$ lên lũy thừa $4$ .

$16 (\frac{625}{256}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.1.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.6.1

Đưa $16$ ra ngoài $256$ .

$16 \frac{625}{16 (16)} + 125 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.1.2.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$16 \frac{625}{16 \cdot 16} + 125 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.1.2.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{625}{16} + 125 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.1.2.1.7

Nhân $125 (- \frac{5}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.7.1

Nhân $- 1$ với $125$ .

$\frac{625}{16} - 125 (\frac{5}{4})$

Bước 4.1.2.1.7.2

Kết hợp $- 125$ và $\frac{5}{4}$ .

$\frac{625}{16} + \frac{- 125 \cdot 5}{4}$

Bước 4.1.2.1.7.3

Nhân $- 125$ với $5$ .

$\frac{625}{16} + \frac{- 625}{4}$

Bước 4.1.2.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4}$

Bước 4.1.2.2

Để viết $- \frac{625}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 4.1.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $16$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1

Nhân $\frac{625}{4}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Bước 4.1.2.3.2

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{16}$

Bước 4.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{625 - 625 \cdot 4}{16}$

Bước 4.1.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.5.1

Nhân $- 625$ với $4$ .

$\frac{625 - 2500}{16}$

Bước 4.1.2.5.2

Trừ $2500$ khỏi $625$ .

$\frac{- 1875}{16}$

Bước 4.1.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1875}{16}$

Bước 4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- \frac{5}{4}, - \frac{1875}{16})$

Bước 5