Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{5} - \frac{1}{15 x^{5}}$ , $x = 1$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{5} - \frac{1}{15 x^{5}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- \frac{1}{15}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{15 x^{5}}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Bước 1.2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{5}}$ ở dạng ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{5}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 1.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{5}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Bước 1.2.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Bước 1.2.5.2

Nhân $5$ với $- 2$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Bước 1.2.6

Nhân $5$ với $- 1$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Bước 1.2.7

Nhân $x^{- 10}$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Di chuyển $x^{4}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Bước 1.2.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{4 - 10})$

Bước 1.2.7.3

Trừ $10$ khỏi $4$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{- 6})$

Bước 1.2.8

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$5 x^{4} + 5 (\frac{1}{15}) x^{- 6}$

Bước 1.2.9

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{15}$ .

$5 x^{4} + \frac{5}{15} x^{- 6}$

Bước 1.2.10

Kết hợp $\frac{5}{15}$ và $x^{- 6}$ .

$5 x^{4} + \frac{5 x^{- 6}}{15}$

Bước 1.2.11

Di chuyển $x^{- 6}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{4} + \frac{5}{15 x^{6}}$

Bước 1.2.12

Triệt tiêu thừa số chung của $5$ và $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$5 x^{4} + \frac{5 (1)}{15 x^{6}}$

Bước 1.2.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $15 x^{6}$ .

$5 x^{4} + \frac{5 (1)}{5 (3 x^{6})}$

Bước 1.2.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 x^{4} + \frac{5 \cdot 1}{5 (3 x^{6})}$

Bước 1.2.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$5 x^{4} + \frac{1}{3 x^{6}}$

Bước 2

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 5 \cdot 1 + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

Bước 3.2

Nhân $5$ với $1$ .

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

Bước 3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 1}$

Bước 3.4

Nhân $3$ với $1$ .

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3}$

Bước 4

Để viết $5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (1) = 5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Bước 5

Kết hợp $5$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (1) = \frac{5 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (1) = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $5$ với $3$ .

$f' (1) = \frac{15 + 1}{3}$

Bước 7.2

Cộng $15$ và $1$ .

$f' (1) = \frac{16}{3}$