Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x^{e^{x}}$ $x = 1$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{e^{x}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$

Bước 1.2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại $x^{e^{x}}$ ở dạng $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

Bước 1.2.2

Khai triển $\ln (x^{e^{x}})$ bằng cách di chuyển $e^{x}$ ra bên ngoài lôgarit.

$2 \frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = e^{x} \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $e^{x} \ln (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Bước 1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{x} \ln (x)$ .

$2 (e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 1.5

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 1.6

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 1.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Bước 1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Bước 1.8.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.2.1

Kết hợp $\frac{e^{x}}{x}$ và $2$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2}{x} e^{e^{x} \ln (x)} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Bước 1.8.2.2

Kết hợp $\frac{e^{x} \cdot 2}{x}$ và $e^{e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2 e^{e^{x} \ln (x)}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Bước 1.8.2.3

Nhân $e^{x}$ với $e^{e^{x} \ln (x)}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.2.3.1

Di chuyển $e^{e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Bước 1.8.2.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Bước 1.8.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{e^{x} \ln (x) + x}$ .

$\frac{2 \cdot e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Bước 1.8.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Bước 1.8.2.6

Để viết $2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Bước 1.8.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Bước 1.8.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

Bước 2

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

Bước 3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

Bước 3.2

Chia $2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$ cho $1$ .

$f' (1) = 2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Bước 4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Rút gọn.

$f' (1) = 2 e^{1 + e \ln (1)} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Bước 4.1.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$f' (1) = 2 e^{1 + e \cdot 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Bước 4.1.3

Nhân $e$ với $0$ .

$f' (1) = 2 e^{1 + 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Bước 4.2

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Bước 4.3

Rút gọn.

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Bước 4.4

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (1) = 2 e \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Bước 4.5

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$f' (1) = 2 e \cdot 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Bước 4.6

Nhân $2 e \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $0$ với $2$ .

$f' (1) = 0 e + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Bước 4.6.2

Nhân $0$ với $e$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Bước 4.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Rút gọn.

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \ln (1) + 1}$

Bước 4.7.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \cdot 0 + 1}$

Bước 4.7.3

Nhân $e$ với $0$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{0 + 1}$

Bước 4.8

Cộng $0$ và $1$ .

$f' (1) = 0 + 2 e$

Bước 4.9

Rút gọn.

$f' (1) = 0 + 2 e$

Bước 5

Cộng $0$ và $2 e$ .

$f' (1) = 2 e$