Giải tích Ví dụ

$v = V e^{- (\frac{t}{T})}$

Bước 1

Nhân $- 1$ với $\frac{t}{T}$ .

$v' = V e^{- \frac{t}{T}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} v' = \frac{d}{d t} (V e^{- \frac{t}{T}})$

Bước 3

Đạo hàm của $v'$ đối với $t$ là $v''$ .

$v''$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $V$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $V e^{- \frac{t}{T}}$ đối với $t$ là $V \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{T}}]$ .

$V \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{T}}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - \frac{t}{T}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- \frac{t}{T}$ .

$V (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{T}])$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$V (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{T}])$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{t}{T}$ .

$V (e^{- \frac{t}{T}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{T}])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- \frac{1}{T}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- \frac{t}{T}$ đối với $t$ là $- \frac{1}{T} \frac{d}{d t} [t]$ .

$V e^{- \frac{t}{T}} (- \frac{1}{T} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 4.3.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Kết hợp $V$ và $\frac{1}{T}$ .

$e^{- \frac{t}{T}} (- \frac{V}{T} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 4.3.2.2

Kết hợp $e^{- \frac{t}{T}}$ và $\frac{V}{T}$ .

$- \frac{e^{- \frac{t}{T}} V}{T} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{e^{- \frac{t}{T}} V}{T} \cdot 1$

Bước 4.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{e^{- \frac{t}{T}} V}{T}$

Bước 4.3.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- \frac{t}{T}} V$ .

$- \frac{V e^{- \frac{t}{T}}}{T}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$v'' = - \frac{V e^{- \frac{t}{T}}}{T}$

Bước 6

Thay thế $v'$ bằng $\frac{d v}{d t}$ .

$\frac{d v}{d t} = - \frac{V e^{- \frac{t}{T}}}{T}$