Giải tích Ví dụ

$y = \tan (\sqrt{1 - x})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 - x}$ ở dạng ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\tan ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \tan (y)$ và $g (y) = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d y} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d y} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d y} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ và $g (y) = 1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $1 - x$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 - x])$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 - x$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Bước 4.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Bước 4.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Bước 4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Bước 4.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Bước 4.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Bước 4.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Bước 4.7.3

Di chuyển ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Bước 4.7.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ và $\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - x]$

Bước 4.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x])$

Bước 4.9

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- x])$

Bước 4.10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 4.11

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [x])$

Bước 4.12

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- x')$

Bước 4.13

Kết hợp $\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x'$ .

$- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = - \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Bước 6.2

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 6.2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Chia $\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ cho $1$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Bước 6.2.2.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Bước 6.3

Nhân cả hai vế với $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Rút gọn $\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.4.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.4.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.4.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.4.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.5

Chia mỗi số hạng trong $x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ cho $\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Chia mỗi số hạng trong $x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ cho $\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 6.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 6.5.2.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 6.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x' = - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 7

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$