Giải tích Ví dụ

$y = arccot (\sqrt{4 t})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 t}$ ở dạng ${(4 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = arccot ({(4 t)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (arccot ({(4 t)}^{\frac{1}{2}}))$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $t$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [arccot ({(4 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 4.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [arccot (4^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Bước 4.2.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [arccot ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Bước 4.2.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [arccot (2^{2 (\frac{1}{2})} t^{\frac{1}{2}})]$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d t} [arccot (2^{2 (\frac{1}{2})} t^{\frac{1}{2}})]$

Bước 4.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d}{d t} [arccot (2^{1} t^{\frac{1}{2}})]$

Bước 4.4

Tính số mũ.

$\frac{d}{d t} [arccot (2 t^{\frac{1}{2}})]$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = arccot (t)$ và $g (t) = 2 t^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.5.2

Đạo hàm của $arccot (u)$ đối với $u$ là $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + {(2 t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.6

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + {(2 (t^{\frac{1}{2}}))}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.6.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (t^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{1}{1 + 2^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.6.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{1}{1 + 4 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.6.2.3

Nhân các số mũ trong ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.6.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.6.2.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{1 + 4 t^{1}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.7

Rút gọn.

$- \frac{1}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.8

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{1}{1 + 4 t} (2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.9.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{1 + 4 t}$ .

$\frac{- 2}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.9.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 4.11

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 4.12

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 4.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 4.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 4.14.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 4.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Bước 4.16

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 4.17

Nhân $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ với $\frac{2}{1 + 4 t}$ .

$- \frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 (1 + 4 t)}$

Bước 4.18

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.18.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2 (1 + 4 t)}$

Bước 4.18.2

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{2 (1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.19

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2}{2 (1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.20

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{(1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.21

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.21.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{1 t^{\frac{1}{2}} + 4 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.21.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.21.2.1

Nhân $t^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.21.2.2

Nhân $t$ với $t^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.21.2.2.1

Di chuyển $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 (t^{\frac{1}{2}} t)}$

Bước 4.21.2.2.2

Nhân $t^{\frac{1}{2}}$ với $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.21.2.2.2.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}$

Bước 4.21.2.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} + 1}}$

Bước 4.21.2.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Bước 4.21.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Bước 4.21.2.2.5

Cộng $1$ và $2$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.21.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.21.3.1

Đưa $t^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.21.3.1.1

Nhân với $1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 4 t^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.21.3.1.2

Đưa $t^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $4 t^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}})}$

Bước 4.21.3.1.3

Đưa $t^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}})$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t^{\frac{2}{2}})}$

Bước 4.21.3.2

Chia $2$ cho $2$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t^{1})}$

Bước 4.21.3.3

Rút gọn.

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$