Giải tích Ví dụ

$y = 3 t {(2 t^{3} - 5)}^{5}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (3 t {(2 t^{3} - 5)}^{5})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $t$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t {(2 t^{3} - 5)}^{5}$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t {(2 t^{3} - 5)}^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t {(2 t^{3} - 5)}^{5}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = {(2 t^{3} - 5)}^{5}$ .

$3 (t \frac{d}{d t} [{(2 t^{3} - 5)}^{5}] + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{5}$ và $g (t) = 2 t^{3} - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 t^{3} - 5$ .

$3 (t (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d t} [2 t^{3} - 5]) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$3 (t (5 u^{4} \frac{d}{d t} [2 t^{3} - 5]) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t^{3} - 5$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} \frac{d}{d t} [2 t^{3} - 5]) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t^{3} - 5$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.4.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t^{3}$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.4.4

Nhân $3$ với $2$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (6 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.4.5

Vì $- 5$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $t$ là $0$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (6 t^{2} + 0)) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Cộng $6 t^{2}$ và $0$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (6 t^{2})) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.4.6.2

Nhân $6$ với $5$ .

$3 (t (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4} t^{2}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.5

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$3 (t^{2} t^{1} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 (t^{2 + 1} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.7

Cộng $2$ và $1$ .

$3 (t^{3} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (t^{3} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \cdot 1)$

Bước 3.9

Nhân ${(2 t^{3} - 5)}^{5}$ với $1$ .

$3 (t^{3} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5})$

Bước 3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (t^{3} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4})) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$

Bước 3.10.2

Nhân $30$ với $3$ .

$90 (t^{3} ({(2 t^{3} - 5)}^{4})) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$

Bước 3.10.3

Đưa $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ ra ngoài $90 t^{3} {(2 t^{3} - 5)}^{4} + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.3.1

Đưa $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ ra ngoài $90 t^{3} {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ .

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (30 t^{3}) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$

Bước 3.10.3.2

Đưa $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ ra ngoài $3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$ .

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (30 t^{3}) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (2 t^{3} - 5)$

Bước 3.10.3.3

Đưa $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ ra ngoài $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (30 t^{3}) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (2 t^{3} - 5)$ .

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (30 t^{3} + 2 t^{3} - 5)$

Bước 3.10.4

Cộng $30 t^{3}$ và $2 t^{3}$ .

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (32 t^{3} - 5)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (32 t^{3} - 5)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (32 t^{3} - 5)$