Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (x^{2} + 81)$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2} + 81$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 81$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 81)$

Bước 1.1.1.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 81)$

Bước 1.1.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 81$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 81} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 81)$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 81$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 81} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (81))$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 81} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (81))$

Bước 1.1.1.2.3

Vì $81$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $81$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 81} \cdot (2 x + 0)$

Bước 1.1.1.2.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 81} \cdot (2 x)$

Bước 1.1.1.2.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{2} + 81}$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 81} \cdot x$

Bước 1.1.1.2.4.3

Kết hợp $\frac{2}{x^{2} + 81}$ và $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 81}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x}{x^{2} + 81}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 81}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 81})$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} + 81$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 81) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 81)}{{(x^{2} + 81)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 81) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 81)}{{(x^{2} + 81)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.2

Nhân $x^{2} + 81$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 81 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 81)}{{(x^{2} + 81)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 81$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 81 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (81))}{{(x^{2} + 81)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 81 - x (2 x + \frac{d}{d x} (81))}{{(x^{2} + 81)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.5

Vì $81$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $81$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 81 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 81)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 81 - x (2 x)}{{(x^{2} + 81)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 81 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 81)}^{2}})$

Bước 1.1.2.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 81 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 81)}^{2}})$

Bước 1.1.2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 81 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 81)}^{2}})$

Bước 1.1.2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 81 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 81)}^{2}})$

Bước 1.1.2.7

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 81 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 81)}^{2}})$

Bước 1.1.2.8

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 81}{{(x^{2} + 81)}^{2}})$

Bước 1.1.2.9

Kết hợp $2$ và $\frac{- x^{2} + 81}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 81)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.2.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 81}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.2.10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.10.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 81}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.2.10.2.2

Nhân $2$ với $81$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 162}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{- 2 x^{2} + 162}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 162}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{- 2 x^{2} + 162}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 162}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$- 2 x^{2} + 162 = 0$

Bước 1.2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Trừ $162$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 x^{2} = - 162$

Bước 1.2.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x^{2} = - 162$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x^{2} = - 162$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 162}{- 2}$

Bước 1.2.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 162}{- 2}$

Bước 1.2.3.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 162}{- 2}$

Bước 1.2.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.3.1

Chia $- 162$ cho $- 2$ .

$x^{2} = 81$

Bước 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{81}$

Bước 1.2.3.4

Rút gọn $\pm \sqrt{81}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.4.1

Viết lại $81$ ở dạng $9^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{9^{2}}$

Bước 1.2.3.4.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 9$

Bước 1.2.3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 9$

Bước 1.2.3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 9$

Bước 1.2.3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 9, - 9$

Bước 2

Tìm tập xác định của $f (x) = \ln (x^{2} + 81)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt giá trị đối số trong $\ln (x^{2} + 81)$ lớn hơn $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x^{2} + 81 > 0$

Bước 2.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $81$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x^{2} > - 81$

Bước 2.2.2

Vì vế trái có số mũ chẵn, nó luôn dương cho tất cả các số thực.

Tất cả các số thực

Bước 2.3

Tập xác định là tất cả các số thực.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 9) \cup (9, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, - 9)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 12$ trong biểu thức.

$f'' (- 12) = \frac{- 2 {(- 12)}^{2} + 162}{{({(- 12)}^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $- 12$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 2 \cdot 144 + 162}{{({(- 12)}^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 4.2.1.2

Nhân $- 2$ với $144$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 288 + 162}{{({(- 12)}^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 4.2.1.3

Cộng $- 288$ và $162$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 126}{{({(- 12)}^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $- 12$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 126}{{(144 + 81)}^{2}}$

Bước 4.2.2.2

Cộng $144$ và $81$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 126}{225^{2}}$

Bước 4.2.2.3

Nâng $225$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 126}{50625}$

Bước 4.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 126$ và $50625$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $- 126$ .

$f'' (- 12) = \frac{9 (- 14)}{50625}$

Bước 4.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $50625$ .

$f'' (- 12) = \frac{9 \cdot - 14}{9 \cdot 5625}$

Bước 4.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (- 12) = \frac{9 \cdot - 14}{9 \cdot 5625}$

Bước 4.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (- 12) = \frac{- 14}{5625}$

Bước 4.2.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (- 12) = - \frac{14}{5625}$

Bước 4.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{14}{5625}$ .

$- \frac{14}{5625}$

Bước 4.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(- \infty, - 9)$ vì $f'' (- 12)$ âm.

Lồi trên $(- \infty, - 9)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- 9, 9)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 162}{{({(0)}^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 162}{{(0^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $- 2$ với $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 162}{{(0^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 5.2.1.3

Cộng $0$ và $162$ .

$f'' (0) = \frac{162}{{(0^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 5.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = \frac{162}{{(0 + 81)}^{2}}$

Bước 5.2.2.2

Cộng $0$ và $81$ .

$f'' (0) = \frac{162}{81^{2}}$

Bước 5.2.2.3

Nâng $81$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (0) = \frac{162}{6561}$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $162$ và $6561$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $81$ ra ngoài $162$ .

$f'' (0) = \frac{81 (2)}{6561}$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Đưa $81$ ra ngoài $6561$ .

$f'' (0) = \frac{81 \cdot 2}{81 \cdot 81}$

Bước 5.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (0) = \frac{81 \cdot 2}{81 \cdot 81}$

Bước 5.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (0) = \frac{2}{81}$

Bước 5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2}{81}$ .

$\frac{2}{81}$

Bước 5.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- 9, 9)$ vì $f'' (0)$ dương.

Lõm trên $(- 9, 9)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 6

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(9, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $12$ trong biểu thức.

$f'' (12) = \frac{- 2 {(12)}^{2} + 162}{{({(12)}^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (12) = \frac{- 2 \cdot 144 + 162}{{(12^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 2$ với $144$ .

$f'' (12) = \frac{- 288 + 162}{{(12^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 6.2.1.3

Cộng $- 288$ và $162$ .

$f'' (12) = \frac{- 126}{{(12^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (12) = \frac{- 126}{{(144 + 81)}^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Cộng $144$ và $81$ .

$f'' (12) = \frac{- 126}{225^{2}}$

Bước 6.2.2.3

Nâng $225$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (12) = \frac{- 126}{50625}$

Bước 6.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 126$ và $50625$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $- 126$ .

$f'' (12) = \frac{9 (- 14)}{50625}$

Bước 6.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $50625$ .

$f'' (12) = \frac{9 \cdot - 14}{9 \cdot 5625}$

Bước 6.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (12) = \frac{9 \cdot - 14}{9 \cdot 5625}$

Bước 6.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (12) = \frac{- 14}{5625}$

Bước 6.2.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (12) = - \frac{14}{5625}$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{14}{5625}$ .

$- \frac{14}{5625}$

Bước 6.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(9, \infty)$ vì $f'' (12)$ âm.

Lồi trên $(9, \infty)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 7

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lồi trên $(- \infty, - 9)$ vì $f'' (x)$ âm

Lõm trên $(- 9, 9)$ vì $f'' (x)$ dương

Lồi trên $(9, \infty)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 8