Giải tích Ví dụ

$\int_{x}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$

Bước 1

Chia tích phân này thành hai tích phân trong đó $c$ là một giá trị nào đó nằm giữa $x$ và $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Bước 3

Hóa n đổi vị trí các biên của tích phân.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Bước 4

Lấy đạo hàm của $- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t$ đối với $x$ bằng định lý cơ bản của giải tích.

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Bước 5

Lấy đạo hàm của $\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ đối với $x$ bằng định lý cơ bản của giải tích và quy tắc chuỗi.

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [2 x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \frac{d}{d x} [x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 1 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Bước 6.3

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Bước 6.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 (x))}^{2} - 6 (2 x))$

Bước 6.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x)$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (2^{2} x^{2}) - 6 (2 x))$

Bước 6.3.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (4 x^{2}) - 6 (2 x))$

Bước 6.3.3.3

Nhân $4$ với $12$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 6 (2 x))$

Bước 6.3.3.4

Nhân $2$ với $- 6$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Bước 7.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $12$ với $- 1$ .

$- 12 x^{2} - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Bước 7.3.2

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Bước 7.3.3

Nhân $48$ với $2$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} + 2 (- 12 x)$

Bước 7.3.4

Nhân $- 12$ với $2$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} - 24 x$

Bước 7.3.5

Cộng $- 12 x^{2}$ và $96 x^{2}$ .

$84 x^{2} + 6 x - 24 x$

Bước 7.3.6

Trừ $24 x$ khỏi $6 x$ .

$84 x^{2} - 18 x$