Giải tích Ví dụ

$y = e^{x}$ , $y = x e^{x^{2}}$ , $(1, e)$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$e^{x} = x e^{x^{2}}$

Bước 1.2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x = 1$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

Bước 1.3.2

Thế $1$ vào $x$ trong $y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 1 \cdot e^{1^{2}}$

Bước 1.3.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

Bước 1.3.2.3

Rút gọn $(1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.1

Nhân $e^{{(1)}^{2}}$ với $1$ .

$y = e^{{(1)}^{2}}$

Bước 1.3.2.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = e^{1}$

Bước 1.3.2.3.3

Rút gọn.

$y = e$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(1, e)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $1$ và $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - (e^{x}) d x$

Bước 3.2

Nhân $- 1$ với $e^{x}$ .

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - e^{x} d x$

Bước 3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Bước 3.4

Giả sử $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Tính đạo hàm $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Bước 3.4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.4.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Bước 3.4.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Bước 3.4.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Bước 3.4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{1^{2}}$

Bước 3.4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = e^{1}$

Bước 3.4.3.2

Rút gọn.

$u_{lower} = e$

Bước 3.4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

Bước 3.4.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = e$

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

Bước 3.4.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{e}^{e^{e^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Bước 3.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Bước 3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

Bước 3.7

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - (e^{x}]_{1}^{e})$

Bước 3.8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Tính $\frac{1}{2} u_{2}$ tại $e^{e^{2}}$ và tại $e$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - (e^{x}]_{1}^{e})$

Bước 3.8.2

Tính $e^{x}$ tại $e$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

Bước 3.8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{e^{2}}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

Bước 3.8.3.2

Kết hợp $e$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - ((e^{e}) - e^{1})$

Bước 3.8.3.3

Rút gọn.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - (e^{e} - e)$

Bước 3.8.3.4

Để viết $- (e^{e} - e)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - (e^{e} - e) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e}{2}$

Bước 3.8.3.5

Kết hợp $- (e^{e} - e)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} + \frac{- (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

Bước 3.8.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{e^{2}} - (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

Bước 3.8.3.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e)}{2} - \frac{e}{2}$

Bước 3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e) - e}{2}$

Bước 3.9.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} - 2 (- e) - e}{2}$

Bước 3.9.2.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + 2 e - e}{2}$

Bước 3.9.3

Trừ $e$ khỏi $2 e$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + e}{2}$

Bước 4