Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} + 3$ ; $y = 6 x - 6$ ; $- 1 \leq x \leq 2$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$x^{2} + 3 = 6 x - 6$

Bước 1.2

Giải $x^{2} + 3 = 6 x - 6$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Trừ $6 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + 3 - 6 x = - 6$

Bước 1.2.2

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + 3 - 6 x + 6 = 0$

Bước 1.2.3

Cộng $3$ và $6$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Bước 1.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

Bước 1.2.4.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Bước 1.2.4.3

Viết lại đa thức này.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Bước 1.2.4.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Bước 1.2.5

Đặt $x - 3$ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 1.2.6

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $3$ bằng $x$ .

$y = 6 (3) - 6$

Bước 1.3.2

Rút gọn $6 (3) - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Nhân $6$ với $3$ .

$y = 18 - 6$

Bước 1.3.2.2

Trừ $6$ khỏi $18$ .

$y = 12$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(3, 12)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 d x - \int_{- 1}^{2} 6 x - 6 d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- 1$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 - (6 x - 6) d x$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 3 - (6 x) - - 6$

Bước 3.2.2

Nhân $6$ với $- 1$ .

$x^{2} + 3 - 6 x - - 6$

Bước 3.2.3

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$x^{2} + 3 - 6 x + 6$

$\int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 - 6 x + 6 d x$

Bước 3.3

Cộng $3$ và $6$ .

$\int_{- 1}^{2} x^{2} - 6 x + 9 d x$

Bước 3.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} - 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Bước 3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Bước 3.6

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 6$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Bước 3.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Bước 3.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Bước 3.9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 9 x]_{- 1}^{2}$

Bước 3.10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Kết hợp $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ và $9 x]_{- 1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 9 x]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2})$

Bước 3.10.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.1

Tính $\frac{1}{3} x^{3} + 9 x$ tại $2$ và tại $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2})$

Bước 3.10.2.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $2$ và tại $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 9 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $8$ .

$\frac{8}{3} + 9 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.3

Nhân $9$ với $2$ .

$\frac{8}{3} + 18 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.4

Để viết $18$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.5

Kết hợp $18$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{8 + 18 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.3.7.1

Nhân $18$ với $3$ .

$\frac{8 + 54}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.7.2

Cộng $8$ và $54$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{- 1}{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.11

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} - 9) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.12

Để viết $- 9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.13

Kết hợp $- 9$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{62}{3} - \frac{- 1 - 9 \cdot 3}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.3.15.1

Nhân $- 9$ với $3$ .

$\frac{62}{3} - \frac{- 1 - 27}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.15.2

Trừ $27$ khỏi $- 1$ .

$\frac{62}{3} - \frac{- 28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.16

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{62}{3} - - \frac{28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.17

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{62}{3} + 1 (\frac{28}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.18

Nhân $\frac{28}{3}$ với $1$ .

$\frac{62}{3} + \frac{28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{62 + 28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.20

Cộng $62$ và $28$ .

$\frac{90}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.21

Triệt tiêu thừa số chung của $90$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.3.21.1

Đưa $3$ ra ngoài $90$ .

$\frac{3 \cdot 30}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.21.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.3.21.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 30}{3 (1)} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.21.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 30}{3 \cdot 1} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.21.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{30}{1} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.21.2.4

Chia $30$ cho $1$ .

$30 - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.22

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$30 - 6 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.23

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.3.23.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.23.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.3.23.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.23.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.23.2.3

Viết lại biểu thức.

$30 - 6 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.23.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$30 - 6 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 3.10.2.3.24

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$30 - 6 (2 - \frac{1}{2})$

Bước 3.10.2.3.25

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$30 - 6 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Bước 3.10.2.3.26

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Bước 3.10.2.3.27

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$30 - 6 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Bước 3.10.2.3.28

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.3.28.1

Nhân $2$ với $2$ .

$30 - 6 \frac{4 - 1}{2}$

Bước 3.10.2.3.28.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$30 - 6 (\frac{3}{2})$

Bước 3.10.2.3.29

Kết hợp $- 6$ và $\frac{3}{2}$ .

$30 + \frac{- 6 \cdot 3}{2}$

Bước 3.10.2.3.30

Nhân $- 6$ với $3$ .

$30 + \frac{- 18}{2}$

Bước 3.10.2.3.31

Triệt tiêu thừa số chung của $- 18$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.3.31.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 18$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2}$

Bước 3.10.2.3.31.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.3.31.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2 (1)}$

Bước 3.10.2.3.31.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 1}$

Bước 3.10.2.3.31.2.3

Viết lại biểu thức.

$30 + \frac{- 9}{1}$

Bước 3.10.2.3.31.2.4

Chia $- 9$ cho $1$ .

$30 - 9$

Bước 3.10.2.3.32

Trừ $9$ khỏi $30$ .

$21$

Bước 4