Giải tích Ví dụ

$y = 8 x (20 - x)$ ; $[0, 20]$

Bước 1

Viết $y = 8 x (20 - x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 8 x (20 - x)$

Bước 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

$f (x)$ liên tục trên $[0, 20]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 4

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 5

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 8 x (20 - x) d x)$

Bước 6

Nhân $8 x (20 - x)$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 8 x \cdot 20 + 8 x (- x) d x)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $20$ với $8$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x + 8 x (- x) d x)$

Bước 7.2

Nhân $- 1$ với $8$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x \cdot x d x)$

Bước 7.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 (x \cdot x) d x)$

Bước 7.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 (x \cdot x) d x)$

Bước 7.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x^{1 + 1} d x)$

Bước 7.6

Cộng $1$ và $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x^{2} d x)$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x d x + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Bước 9

Vì $160$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $160$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 \int_{0}^{20} x d x + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Bước 11

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Bước 12

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 8$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 \int_{0}^{20} x^{2} d x)$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20}))$

Bước 14

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{20}))$

Bước 14.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $20$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{20}))$

Bước 14.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $20$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.1

Nâng $20$ lên lũy thừa $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{400}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $400$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $400$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{200}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3.2.2.4

Chia $200$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 (0)}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0}{1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - 0) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 + 0) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3.6

Cộng $200$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 \cdot 200 - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3.7

Nhân $160$ với $200$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3.8

Nâng $20$ lên lũy thừa $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3.9

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0}{3}))$

Bước 14.2.3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Bước 14.2.3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Bước 14.2.3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Bước 14.2.3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0}{1}))$

Bước 14.2.3.10.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - 0))$

Bước 14.2.3.11

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} + 0))$

Bước 14.2.3.12

Cộng $\frac{8000}{3}$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3}))$

Bước 14.2.3.13

Kết hợp $- 8$ và $\frac{8000}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 + \frac{- 8 \cdot 8000}{3})$

Bước 14.2.3.14

Nhân $- 8$ với $8000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 + \frac{- 64000}{3})$

Bước 14.2.3.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - \frac{64000}{3})$

Bước 14.2.3.16

Để viết $32000$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 \cdot \frac{3}{3} - \frac{64000}{3})$

Bước 14.2.3.17

Kết hợp $32000$ và $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000 \cdot 3}{3} - \frac{64000}{3})$

Bước 14.2.3.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000 \cdot 3 - 64000}{3})$

Bước 14.2.3.19

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.19.1

Nhân $32000$ với $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{96000 - 64000}{3})$

Bước 14.2.3.19.2

Trừ $64000$ khỏi $96000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000}{3})$

Bước 15

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 + 0} \cdot \frac{32000}{3}$

Bước 15.2

Cộng $20$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{32000}{3}$

Bước 16

Triệt tiêu thừa số chung $20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Đưa $20$ ra ngoài $32000$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 (1600)}{3}$

Bước 16.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 \cdot 1600}{3}$

Bước 16.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1600}{3}$

Bước 17