Giải tích Ví dụ

$f (x) = x - 4 \sqrt{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 4 \sqrt{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 1.1.2.2

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 1.1.2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 1.1.2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.1.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.1.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 1.1.2.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 1.1.2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 1.1.2.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 1.1.2.10

Kết hợp $- 4$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 1.1.2.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.2.12

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.2.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 1.1.2.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.2.13.3

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = 1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.2.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = 1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Bước 2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Bước 2.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x^{\frac{1}{2}}, 1$

Bước 2.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.4

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ với $x^{\frac{1}{2}}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ vào tử số.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.4.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 = - x^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ .

$- x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Bước 2.5.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 2.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 2.5.2.2.2

Chia $x^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 2.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1

Chia $- 2$ cho $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Bước 2.5.3

Lấy mũ lũy thừa $2$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Bước 2.5.4

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Bước 2.5.4.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Bước 2.5.4.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = 2^{2}$

Bước 2.5.4.1.1.2

Rút gọn.

$x = 2^{2}$

Bước 2.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = 4$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $4$ .

$4$

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Bước 4.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Bước 4.2

Đặt mẫu số trong $\frac{2}{\sqrt{x}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt{x} = 0$

Bước 4.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Bước 4.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 4.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 4.3.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 4.3.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = 0^{2}$

Bước 4.3.2.2.1.2

Rút gọn.

$x = 0^{2}$

Bước 4.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x = 0$

Bước 4.4

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ nhỏ hơn $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x < 0$

Bước 4.5

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Viết lại ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

Bước 6.2.1.1.2

Tính số mũ.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

Bước 6.2.1.1.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{i}$

Bước 6.2.1.2

Nhân tử số và mẫu số của $\frac{2}{i}$ với liên hợp của $i$ để biến mẫu số thành số thực.

$f' (- 1) = 1 - (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i})$

Bước 6.2.1.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1

Kết hợp.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Bước 6.2.1.3.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.2.1

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Bước 6.2.1.3.2.2

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Bước 6.2.1.3.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{1 + 1}}$

Bước 6.2.1.3.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{2}}$

Bước 6.2.1.3.2.5

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{- 1}$

Bước 6.2.1.4

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{2 i}{- 1}$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 1 \cdot (2 i))$

Bước 6.2.1.5

Viết lại $- 1 \cdot (2 i)$ ở dạng $- (2 i)$ .

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

Bước 6.2.1.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 2 i)$

Bước 6.2.1.7

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

Bước 6.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $1 + 2 i$ .

$1 + 2 i$

Bước 6.3

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $1 + 2 i$ . Vì phần này chứa một số ảo, nên hàm số không tồn tại trên $(- \infty, 0)$ .

Hàm số không thực sự trên $(- \infty, 0)$ vì $f' (x)$ là ảo

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(0, 4)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = 1 - \frac{2}{{(2)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Di chuyển ${(2)}^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

Bước 7.2.1.2

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.2.1

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

Bước 7.2.1.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (2) = 1 - 2^{1 - \frac{1}{2}}$

Bước 7.2.1.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Bước 7.2.1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2 - 1}{2}}$

Bước 7.2.1.2.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{1}{2}}$

Bước 7.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $1 - 2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 2^{\frac{1}{2}}$

Bước 7.3

Rút gọn.

$- 0.41421356$

Bước 7.4

Tại $x = 2$ đạo hàm là $- 0.41421356$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, 4)$ .

Giảm trên $(0, 4)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(4, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $5$ trong biểu thức.

$f' (5) = 1 - \frac{2}{{(5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f' (5) = 1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

Bước 8.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

Bước 8.3

Rút gọn.

$0.1055728$

Bước 8.4

Tại $x = 5$ đạo hàm là $0.1055728$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(4, \infty)$ .

Tăng trên $(4, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(4, \infty)$

Giảm trên: $(0, 4)$

Bước 10