Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 \tan^{-1} (x)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\tan^{-1} (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{1}{1 + x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Bước 1.1.2.3

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{3}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{3}$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 (3 x^{2})$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $- 3$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.1

Để viết $- 9 x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Bước 1.1.4.1.2

Kết hợp $- 9 x^{2}$ và $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Bước 1.1.4.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{5 - 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Bước 1.1.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5 = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 9 x^{2} \cdot 1 - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

Bước 2.3.1.2

Nhân $- 9$ với $1$ .

$- 9 x^{2} - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

Bước 2.3.1.3

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2}) + 5 = 0$

Bước 2.3.1.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 9 x^{2} - 9 x^{2 + 2} + 5 = 0$

Bước 2.3.1.3.3

Cộng $2$ và $2$ .

$- 9 x^{2} - 9 x^{4} + 5 = 0$

Bước 2.3.2

Thay $u = x^{2}$ vào phương trình. Điều này sẽ làm cho công thức bậc hai dễ sử dụng.

$- 9 u^{2} - 9 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

Bước 2.3.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.3.4

Thay các giá trị $a = - 9$ , $b = - 9$ , và $c = 5$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot 5)}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.1

Nâng $- 9$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.5.1.2.2

Nhân $36$ với $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.5.1.3

Cộng $81$ và $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.5.1.4

Viết lại $261$ ở dạng $3^{2} \cdot 29$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.4.1

Đưa $9$ ra ngoài $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.5.1.4.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.5.2

Nhân $2$ với $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Bước 2.3.5.3

Rút gọn $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Bước 2.3.5.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Bước 2.3.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1.1

Nâng $- 9$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.6.1.2.2

Nhân $36$ với $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.6.1.3

Cộng $81$ và $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.6.1.4

Viết lại $261$ ở dạng $3^{2} \cdot 29$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1.4.1

Đưa $9$ ra ngoài $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.6.1.4.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.6.2

Nhân $2$ với $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Bước 2.3.6.3

Rút gọn $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Bước 2.3.6.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Bước 2.3.6.5

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}$

Bước 2.3.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1.1

Nâng $- 9$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.7.1.2.2

Nhân $36$ với $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.7.1.3

Cộng $81$ và $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.7.1.4

Viết lại $261$ ở dạng $3^{2} \cdot 29$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1.4.1

Đưa $9$ ra ngoài $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.7.1.4.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Bước 2.3.7.2

Nhân $2$ với $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Bước 2.3.7.3

Rút gọn $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Bước 2.3.7.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Bước 2.3.7.5

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$u = - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

Bước 2.3.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}, - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

Bước 2.3.9

Thay giá trị thực tế của $u = x^{2}$ trở lại vào phương trình đã giải.

$x^{2} = - 1.39752746$

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

Bước 2.3.10

Giải phương trình đầu tiên để tìm $x$ .

$x^{2} = - 1.39752746$

Bước 2.3.11

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.39752746}$

Bước 2.3.11.2

Rút gọn $\pm \sqrt{- 1.39752746}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.2.1

Viết lại $- 1.39752746$ ở dạng $- 1 (1.39752746)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.39752746)}$

Bước 2.3.11.2.2

Viết lại $\sqrt{- 1 (1.39752746)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$

Bước 2.3.11.2.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i \sqrt{1.39752746}$

Bước 2.3.11.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = i \sqrt{1.39752746}$

Bước 2.3.11.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - i \sqrt{1.39752746}$

Bước 2.3.11.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}$

Bước 2.3.12

Giải phương trình thứ hai để tìm $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

Bước 2.3.13

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.13.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x^{2} = 0.39752746$

Bước 2.3.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.39752746}$

Bước 2.3.13.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.13.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{0.39752746}$

Bước 2.3.13.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{0.39752746}$

Bước 2.3.13.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

Bước 2.3.14

Đáp án cho $- 9 x^{4} - 9 x^{2} + 5 = 0$ là $x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$ .

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = \sqrt{0.39752746}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $\sqrt{0.39752746}$ bằng $x$ .

$5 \tan^{-1} (\sqrt{0.39752746}) - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Tính $\tan^{-1} (\sqrt{0.39752746})$ .

$5 \cdot 0.56254301 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Bước 4.1.2.1.2

Nhân $5$ với $0.56254301$ .

$2.81271509 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Bước 4.1.2.1.3

Viết lại ${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ .

$2.81271509 - 3 \sqrt{{0.39752746}^{3}}$

Bước 4.1.2.1.4

Nâng $0.39752746$ lên lũy thừa $3$ .

$2.81271509 - 3 \sqrt{0.0628205}$

Bước 4.1.2.2

Trừ $3 \sqrt{0.0628205}$ khỏi $2.81271509$ .

$2.06079452$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = - \sqrt{0.39752746}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $- \sqrt{0.39752746}$ bằng $x$ .

$5 \tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746}) - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Tính $\tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746})$ .

$5 \cdot - 0.56254301 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Bước 4.2.2.1.2

Nhân $5$ với $- 0.56254301$ .

$- 2.81271509 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Bước 4.2.2.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \sqrt{0.39752746}$ .

$- 2.81271509 - 3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

Bước 4.2.2.1.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- 2.81271509 - 3 (- {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

Bước 4.2.2.1.5

Viết lại ${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ .

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{{0.39752746}^{3}})$

Bước 4.2.2.1.6

Nâng $0.39752746$ lên lũy thừa $3$ .

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{0.0628205})$

Bước 4.2.2.1.7

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$- 2.81271509 + 3 \sqrt{0.0628205}$

Bước 4.2.2.2

Cộng $- 2.81271509$ và $3 \sqrt{0.0628205}$ .

$- 2.06079452$

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(\sqrt{0.39752746}, 2.06079452), (- \sqrt{0.39752746}, - 2.06079452)$

Bước 5