Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ và $g (x) = x - 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 4) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 3 x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.2.3

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.2.5

Nhân $- 3$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.2.6

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7

Cộng $2 x - 3$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.2.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.2.10

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.2.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.11.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.2.11.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.1

Khai triển $(x - 2) (2 x - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.2.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.2.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.2.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.2.1.3

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.2.1.4

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.2.1.5

Nhân $- 2$ với $- 3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.2.2

Trừ $4 x$ khỏi $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.3

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.2

Trừ $x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 6 + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.3

Cộng $- 7 x$ và $3 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 6 + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.4

Cộng $6$ và $4$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$x^{2} - 4 x + 10 = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.3.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 4$ , và $c = 10$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.1.3

Trừ $40$ khỏi $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.1.4

Viết lại $- 24$ ở dạng $- 1 (24)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (24)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.1.7

Viết lại $24$ ở dạng $2^{2} \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $24$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Bước 2.3.3.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

Bước 2.3.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.1.3

Trừ $40$ khỏi $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.1.4

Viết lại $- 24$ ở dạng $- 1 (24)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (24)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.1.7

Viết lại $24$ ở dạng $2^{2} \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $24$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Bước 2.3.4.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

Bước 2.3.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 2 + i \sqrt{6}$

Bước 2.3.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.1.3

Trừ $40$ khỏi $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.1.4

Viết lại $- 24$ ở dạng $- 1 (24)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (24)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.1.7

Viết lại $24$ ở dạng $2^{2} \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $24$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Bước 2.3.5.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

Bước 2.3.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 2 - i \sqrt{6}$

Bước 2.3.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 2 + i \sqrt{6}, 2 - i \sqrt{6}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đặt $x - 2$ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 3.2.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 4

Tính $\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $2$ bằng $x$ .

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 4}{(2) - 2}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 4}{0}$

Bước 4.1.2.2

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 5

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào