Giải tích Ví dụ

$C (t) = 3 t e^{- \frac{1}{30} t}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{30}$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} (3 t e^{- \frac{t}{30}})$

Bước 1.1.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t e^{- \frac{t}{30}}$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{30}}]$ .

$f' (t) = 3 \frac{d}{d t} (t e^{- \frac{t}{30}})$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = e^{- \frac{t}{30}}$ .

$f' (t) = 3 (t \frac{d}{d t} (e^{- \frac{t}{30}}) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - \frac{t}{30}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- \frac{t}{30}$ .

$f' (t) = 3 (t (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d t} (- \frac{t}{30})) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (t) = 3 (t (e^{u} \frac{d}{d t} (- \frac{t}{30})) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Bước 1.1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{t}{30}$ .

$f' (t) = 3 (t (e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (- \frac{t}{30})) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- \frac{1}{30}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- \frac{t}{30}$ đối với $t$ là $- \frac{1}{30} \frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = 3 (t (e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{1}{30} \cdot \frac{d}{d t} t)) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Bước 1.1.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Kết hợp $e^{- \frac{t}{30}}$ và $\frac{1}{30}$ .

$f' (t) = 3 (t (- \frac{e^{- \frac{t}{30}}}{30} \cdot \frac{d}{d t} t) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Bước 1.1.4.2.2

Kết hợp $t$ và $\frac{e^{- \frac{t}{30}}}{30}$ .

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} \cdot \frac{d}{d t} t + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Bước 1.1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} \cdot 1 + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Bước 1.1.4.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Bước 1.1.4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} + e^{- \frac{t}{30}} \cdot 1)$

Bước 1.1.4.6

Nhân $e^{- \frac{t}{30}}$ với $1$ .

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} + e^{- \frac{t}{30}})$

Bước 1.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30}) + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Bước 1.1.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (t) = - 3 \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Bước 1.1.5.2.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30}$ .

$f' (t) = \frac{- 3 (t e^{- \frac{t}{30}})}{30} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Bước 1.1.5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $30$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 t e^{- \frac{t}{30}}$ .

$f' (t) = \frac{3 (- t e^{- \frac{t}{30}})}{30} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Bước 1.1.5.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $30$ .

$f' (t) = \frac{3 (- t e^{- \frac{t}{30}})}{3 (10)} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Bước 1.1.5.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (t) = \frac{3 (- t e^{- \frac{t}{30}})}{3 \cdot 10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Bước 1.1.5.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (t) = \frac{- t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Bước 1.1.5.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (t) = - \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $C (t)$ đối với $t$ là $- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$ .

$- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}} = 0$

Bước 2.2

Đưa $e^{- \frac{t}{30}}$ ra ngoài $- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $e^{- \frac{t}{30}}$ ra ngoài $- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10}$ .

$e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10}) + 3 e^{- \frac{t}{30}} = 0$

Bước 2.2.2

Đưa $e^{- \frac{t}{30}}$ ra ngoài $3 e^{- \frac{t}{30}}$ .

$e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10}) + e^{- \frac{t}{30}} \cdot 3 = 0$

Bước 2.2.3

Đưa $e^{- \frac{t}{30}}$ ra ngoài $e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10}) + e^{- \frac{t}{30}} \cdot 3$ .

$e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10} + 3) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{- \frac{t}{30}} = 0$

$- \frac{t}{10} + 3 = 0$

Bước 2.4

Đặt $e^{- \frac{t}{30}}$ bằng $0$ và giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $e^{- \frac{t}{30}}$ bằng với $0$ .

$e^{- \frac{t}{30}} = 0$

Bước 2.4.2

Giải $e^{- \frac{t}{30}} = 0$ để tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{- \frac{t}{30}}) = \ln (0)$

Bước 2.4.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 2.4.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{- \frac{t}{30}} = 0$

Không có đáp án

Bước 2.5

Đặt $- \frac{t}{10} + 3$ bằng $0$ và giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $- \frac{t}{10} + 3$ bằng với $0$ .

$- \frac{t}{10} + 3 = 0$

Bước 2.5.2

Giải $- \frac{t}{10} + 3 = 0$ để tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{t}{10} = - 3$

Bước 2.5.2.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $- 10$ .

$- 10 (- \frac{t}{10}) = - 10 \cdot - 3$

Bước 2.5.2.3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1.1

Rút gọn $- 10 (- \frac{t}{10})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{t}{10}$ vào tử số.

$- 10 \frac{- t}{10} = - 10 \cdot - 3$

Bước 2.5.2.3.1.1.1.2

Đưa $10$ ra ngoài $- 10$ .

$10 (- 1) \frac{- t}{10} = - 10 \cdot - 3$

Bước 2.5.2.3.1.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$10 \cdot - 1 \frac{- t}{10} = - 10 \cdot - 3$

Bước 2.5.2.3.1.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$- - t = - 10 \cdot - 3$

Bước 2.5.2.3.1.1.2

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 t = - 10 \cdot - 3$

Bước 2.5.2.3.1.1.2.2

Nhân $t$ với $1$ .

$t = - 10 \cdot - 3$

Bước 2.5.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.2.1

Nhân $- 10$ với $- 3$ .

$t = 30$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10} + 3) = 0$ đúng.

$t = 30$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $3 t e^{- \frac{1}{30} t}$ tại các giá trị $t$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $t = 30$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $30$ bằng $t$ .

$3 (30) \cdot e^{- \frac{1}{30} \cdot 30}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nhân $3$ với $30$ .

$90 \cdot e^{- \frac{1}{30} \cdot 30}$

Bước 4.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $30$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{30}$ vào tử số.

$90 \cdot e^{\frac{- 1}{30} \cdot 30}$

Bước 4.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$90 \cdot e^{\frac{- 1}{30} \cdot 30}$

Bước 4.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$90 \cdot e^{- 1}$

Bước 4.1.2.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$90 \cdot \frac{1}{e}$

Bước 4.1.2.4

Kết hợp $90$ và $\frac{1}{e}$ .

$\frac{90}{e}$

Bước 4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(30, \frac{90}{e})$

Bước 5