Giải tích Ví dụ

$y = 2 x + \sin (4 x)$

Bước 1

Viết $y = 2 x + \sin (4 x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 2 x + \sin (4 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + \sin (4 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x$ .

$2 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 2.3.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$2 + \cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x$ .

$2 + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 2.3.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 + \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 + \cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Bước 2.3.4

Nhân $4$ với $1$ .

$2 + \cos (4 x) \cdot 4$

Bước 2.3.5

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\cos (4 x)$ .

$2 + 4 \cos (4 x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + 4 \cos (4 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [4 \cos (4 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (4 \cos (4 x))$

Bước 3.1.2

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 \cos (4 x))$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \cos (4 x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 4 \frac{d}{d x} (\cos (4 x))$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (4 x))$

Bước 3.2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (4 x))$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

Bước 3.2.3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))$

Bước 3.2.5

Nhân $4$ với $1$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (4 x) \cdot 4)$

Bước 3.2.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- 4 \sin (4 x))$

Bước 3.2.7

Nhân $- 4$ với $4$ .

$f'' (x) = 0 - 16 \sin (4 x)$

Bước 3.3

Trừ $16 \sin (4 x)$ khỏi $0$ .

$f'' (x) = - 16 \sin (4 x)$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$2 + 4 \cos (4 x) = 0$

Bước 5

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 \cos (4 x) = - 2$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $4 \cos (4 x) = - 2$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $4 \cos (4 x) = - 2$ cho $4$ .

$\frac{4 \cos (4 x)}{4} = \frac{- 2}{4}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cos (4 x)}{4} = \frac{- 2}{4}$

Bước 6.2.1.2

Chia $\cos (4 x)$ cho $1$ .

$\cos (4 x) = \frac{- 2}{4}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\cos (4 x) = \frac{2 (- 1)}{4}$

Bước 6.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\cos (4 x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Bước 6.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (4 x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Bước 6.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\cos (4 x) = \frac{- 1}{2}$

Bước 6.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (4 x) = - \frac{1}{2}$

Bước 7

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$4 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Bước 8

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{1}{2})$ là $\frac{2 π}{3}$ .

$4 x = \frac{2 π}{3}$

Bước 9

Chia mỗi số hạng trong $4 x = \frac{2 π}{3}$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = \frac{2 π}{3}$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

Bước 9.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

Bước 9.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

Bước 9.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Bước 9.3.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Bước 9.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Bước 9.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 9.3.3

Nhân $\frac{π}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Bước 9.3.4

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Bước 10

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$4 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Bước 11

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 11.1.2

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 11.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Bước 11.1.4

Nhân $3$ với $2$ .

$4 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Bước 11.1.5

Trừ $2 π$ khỏi $6 π$ .

$4 x = \frac{4 π}{3}$

Bước 11.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x = \frac{4 π}{3}$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = \frac{4 π}{3}$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{4 π}{3}}{4}$

Bước 11.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{4 π}{3}}{4}$

Bước 11.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{4}$

Bước 11.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Bước 11.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 π$ .

$x = \frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Bước 11.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Bước 11.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{π}{3}$

Bước 12

Đáp án của phương trình $4 x = \frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{π}{3}$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{6}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 16 \sin (4 (\frac{π}{6}))$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- 16 \sin (2 (2) \frac{π}{6})$

Bước 14.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$- 16 \sin (2 \cdot 2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Bước 14.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 16 \sin (2 \cdot 2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Bước 14.1.4

Viết lại biểu thức.

$- 16 \sin (2 \frac{π}{3})$

Bước 14.2

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{3}$ .

$- 16 \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 14.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- 16 \sin (\frac{π}{3})$

Bước 14.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 16 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 14.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 16$ .

$2 (- 8) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 14.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 8 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 14.5.3

Viết lại biểu thức.

$- 8 \sqrt{3}$

Bước 15

$x = \frac{π}{6}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{6}$ là cực đại địa phương

Bước 16

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{6}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{π}{6}) + \sin (4 (\frac{π}{6}))$

Bước 16.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{π}{2 (3)}) + \sin (4 (\frac{π}{6}))$

Bước 16.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{π}{2 \cdot 3}) + \sin (4 (\frac{π}{6}))$

Bước 16.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{3} + \sin (4 (\frac{π}{6}))$

Bước 16.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{3} + \sin (2 (2) (\frac{π}{6}))$

Bước 16.2.1.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{3} + \sin (2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})))$

Bước 16.2.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{3} + \sin (2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})))$

Bước 16.2.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{3} + \sin (2 (\frac{π}{3}))$

Bước 16.2.1.3

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{3} + \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 16.2.1.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{3} + \sin (\frac{π}{3})$

Bước 16.2.1.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 16.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 17

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{3}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 16 \sin (4 (\frac{π}{3}))$

Bước 18

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Kết hợp $4$ và $\frac{π}{3}$ .

$- 16 \sin (\frac{4 π}{3})$

Bước 18.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ ba.

$- 16 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Bước 18.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 16 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 18.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ vào tử số.

$- 16 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Bước 18.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 16$ .

$2 (- 8) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Bước 18.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 8 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Bước 18.4.4

Viết lại biểu thức.

$- 8 (- \sqrt{3})$

Bước 18.5

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$8 \sqrt{3}$

Bước 19

$x = \frac{π}{3}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{3}$ là cực tiểu địa phương

Bước 20

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{3}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{π}{3}) + \sin (4 (\frac{π}{3}))$

Bước 20.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1.1

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sin (4 (\frac{π}{3}))$

Bước 20.2.1.2

Kết hợp $4$ và $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sin (\frac{4 π}{3})$

Bước 20.2.1.3

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Bước 20.2.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 20.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 21

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 2 x + \sin (4 x)$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ là một cực đại địa phuơng

$(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 22