Giải tích Ví dụ

$5 \sin (2 x) + 3 > \frac{11}{2}$

Bước 1

Chuyển tất cả các số hạng không chứa $\sin (2 x)$ sang vế phải của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} - 3$

Bước 1.2

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 1.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2}{2}$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Bước 1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 \sin (2 x) > \frac{11 - 3 \cdot 2}{2}$

Bước 1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $- 3$ với $2$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11 - 6}{2}$

Bước 1.5.2

Trừ $6$ khỏi $11$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$

Bước 2

Chia mỗi số hạng trong $5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$ cho $5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia mỗi số hạng trong $5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$ cho $5$ .

$\frac{5 \sin (2 x)}{5} > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \sin (2 x)}{5} > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Bước 2.2.1.2

Chia $\sin (2 x)$ cho $1$ .

$\sin (2 x) > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\sin (2 x) > \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (2 x) > \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 2.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (2 x) > \frac{1}{2}$

Bước 3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$2 x > \arcsin (\frac{1}{2})$

Bước 4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$2 x > \frac{π}{6}$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong $2 x > \frac{π}{6}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x > \frac{π}{6}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Bước 5.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x > \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 5.3.2

Nhân $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nhân $\frac{π}{6}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{π}{6 \cdot 2}$

Bước 5.3.2.2

Nhân $6$ với $2$ .

$x > \frac{π}{12}$

Bước 6

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Bước 7

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 7.1.2

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 7.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 7.1.4

Trừ $π$ khỏi $π \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Sắp xếp lại $π$ và $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Bước 7.1.4.2

Trừ $π$ khỏi $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Bước 7.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Bước 7.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Bước 7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 7.2.3.2

Nhân $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Nhân $\frac{5 π}{6}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Bước 7.2.3.2.2

Nhân $6$ với $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Bước 8

Tìm chu kỳ của $\sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 8.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 8.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 8.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 8.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 9

Chu kỳ của hàm $\sin (2 x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$

Bước 11

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1$

Bước 11.1.2

Thay thế $x$ bằng $1$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$5 \sin (2 (1)) + 3 > \frac{11}{2}$

Bước 11.1.3

Vế trái $7.54648713$ lớn hơn vế phải $5.5$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 11.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 11.2.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$5 \sin (2 (2)) + 3 > \frac{11}{2}$

Bước 11.2.3

Vế trái $- 0.78401247$ không lớn hơn vế phải $5.5$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 11.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 11.3.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$5 \sin (2 (4)) + 3 > \frac{11}{2}$

Bước 11.3.3

Vế trái $7.94679123$ lớn hơn vế phải $5.5$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 11.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ Đúng

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ Sai

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ Đúng

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ Đúng

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ Sai

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ Đúng

Bước 12

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$\frac{π}{12} + π n < x < \frac{5 π}{12} + π n$ hoặc $\frac{13 π}{12} + π n < x < \frac{17 π}{12} + π n$ , đối với bất kỳ số nguyên $n$ nào

Bước 13

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(\frac{13 π}{12} + π n, \frac{17 π}{12} + π n) \cup (\frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n)$

Bước 14