Giải tích Ví dụ

${(\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính $\cos (\frac{3 π}{5})$ .

${(- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

Bước 1.2

Tính $\sin (\frac{3 π}{5})$ .

${(- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651)}^{3}$

Bước 1.3

Di chuyển $0.95105651$ sang phía bên trái của $i$ .

${(- 0.30901699 + 0.95105651 i)}^{3}$

Bước 2

Sử dụng định lý nhị thức.

${(- 0.30901699)}^{3} + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nâng $- 0.30901699$ lên lũy thừa $3$ .

$- 0.02950849 + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Bước 3.1.2

Nâng $- 0.30901699$ lên lũy thừa $2$ .

$- 0.02950849 + 3 \cdot 0.0954915 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Bước 3.1.3

Nhân $3$ với $0.0954915$ .

$- 0.02950849 + 0.2864745 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Bước 3.1.4

Nhân $0.95105651$ với $0.2864745$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Bước 3.1.5

Nhân $3$ với $- 0.30901699$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Bước 3.1.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $0.95105651 i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 ({0.95105651}^{2} i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Bước 3.1.7

Nâng $0.95105651$ lên lũy thừa $2$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Bước 3.1.8

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Bước 3.1.9

Nhân $- 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.9.1

Nhân $0.90450849$ với $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 \cdot - 0.90450849 + {(0.95105651 i)}^{3}$

Bước 3.1.9.2

Nhân $- 0.92705098$ với $- 0.90450849$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {(0.95105651 i)}^{3}$

Bước 3.1.10

Áp dụng quy tắc tích số cho $0.95105651 i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {0.95105651}^{3} i^{3}$

Bước 3.1.11

Nâng $0.95105651$ lên lũy thừa $3$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 i^{3}$

Bước 3.1.12

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (i^{2} \cdot i)$

Bước 3.1.13

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- 1 \cdot i)$

Bước 3.1.14

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- i)$

Bước 3.1.15

Nhân $- 1$ với $0.8602387$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 - 0.8602387 i$

Bước 3.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Cộng $- 0.02950849$ và $0.83852549$ .

$0.80901699 + 0.27245344 i - 0.8602387 i$

Bước 3.2.2

Trừ $0.8602387 i$ khỏi $0.27245344 i$ .

$0.80901699 - 0.58778525 i$

Bước 4

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 5

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 6

Thay các giá trị thực tế của $a = 0.80901699$ và $b = - 0.58778525$ .

$| z | = \sqrt{{(- 0.58778525)}^{2} + {0.80901699}^{2}}$

Bước 7

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nâng $- 0.58778525$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{0.3454915 + {0.80901699}^{2}}$

Bước 7.2

Nâng $0.80901699$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{0.3454915 + 0.65450849}$

Bước 7.3

Cộng $0.3454915$ và $0.65450849$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Bước 7.4

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Bước 7.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 1$

Bước 8

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{- 0.58778525}{0.80901699})$

Bước 9

Vì tang nghịch đảo của $\frac{- 0.58778525}{0.80901699}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ tư, giá trị của góc là $- \frac{π}{5}$ .

$θ = - \frac{π}{5}$

Bước 10

Thay các giá trị của $θ = - \frac{π}{5}$ và $| z | = 1$ .

$1 (\cos (- \frac{π}{5}) + i \sin (- \frac{π}{5}))$