Giải tích Ví dụ

$x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Bước 1

Viết $x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{4}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x}{2} - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.3.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.3.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.3.5

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.3.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.6.1

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2})) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.3.6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$f' (x) = x (\frac{4}{2} \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.3.6.3

Kết hợp $\frac{4}{2}$ và ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.6.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.3.6.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.6.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.3.6.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.3.6.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = x (\frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.3.6.4.2.4

Chia $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ cho $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.1.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

Bước 2.1.3.8

Nhân ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ với $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Bước 2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Đưa ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ ra ngoài $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1.1

Sắp xếp lại $x$ và $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Bước 2.1.4.1.2

Đưa ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ ra ngoài $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Bước 2.1.4.1.3

Đưa ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ ra ngoài ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

Bước 2.1.4.1.4

Đưa ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ ra ngoài ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

Bước 2.1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Để viết $2 x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Bước 2.1.4.2.2

Kết hợp $2 x$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Bước 2.1.4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

Bước 2.1.4.2.4

Nhân $2$ với $2$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

Bước 2.1.4.2.5

Cộng $4 x$ và $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ và $g (x) = \frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 5) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{5 x}{2} - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Bước 2.2.2.2

Vì $\frac{5}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5 x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Bước 2.2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Bước 2.2.2.4

Nhân $\frac{5}{2}$ với $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Bước 2.2.2.5

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Bước 2.2.2.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.6.1

Cộng $\frac{5}{2}$ và $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Bước 2.2.2.6.2

Kết hợp ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ và $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Bước 2.2.2.6.3

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)$

Bước 2.2.4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x}{2} - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Bước 2.2.4.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Bước 2.2.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Bước 2.2.4.5

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))$

Bước 2.2.4.6

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Bước 2.2.4.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.7.1

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2})$

Bước 2.2.4.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})$

Bước 2.2.4.7.3

Kết hợp ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ và $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Bước 2.2.4.7.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Bước 2.2.5

Để viết $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot \frac{2}{2}$

Bước 2.2.6

Kết hợp $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ và $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Bước 2.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Bước 2.2.8

Kết hợp $2$ và $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Bước 2.2.9

Nhân $3$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Bước 2.2.10

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Bước 2.2.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Bước 2.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Bước 2.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Bước 2.2.10.2.4

Chia $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ cho $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Bước 2.2.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1.1

Đưa ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ ra ngoài $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1.1.1

Đưa ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ ra ngoài $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Bước 2.2.11.1.1.2

Đưa ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ ra ngoài $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Bước 2.2.11.1.1.3

Đưa ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ ra ngoài ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5) + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Bước 2.2.11.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Bước 2.2.11.1.3

Kết hợp $5$ và $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Bước 2.2.11.1.4

Nhân $5$ với $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Bước 2.2.11.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 5)}{2}$

Bước 2.2.11.1.6

Nhân $3 \frac{5 x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1.6.1

Kết hợp $3$ và $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Bước 2.2.11.1.6.2

Nhân $5$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Bước 2.2.11.1.7

Nhân $3$ với $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} - 15)}{2}$

Bước 2.2.11.1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 25 - 15)}{2}$

Bước 2.2.11.1.9

Trừ $15$ khỏi $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Bước 2.2.11.1.10

Để viết $- 5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Bước 2.2.11.1.11

Kết hợp $- 5$ và $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Bước 2.2.11.1.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Bước 2.2.11.1.13

Nhân $- 5$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Bước 2.2.11.1.14

Cộng $5 x$ và $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 40)}{2}$

Bước 2.2.11.1.15

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1.15.1

Đưa $2$ ra ngoài $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 40)}{2}$

Bước 2.2.11.1.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1.15.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 40)}{2}$

Bước 2.2.11.1.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 40)}{2}$

Bước 2.2.11.1.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 40)}{2}$

Bước 2.2.11.1.15.2.4

Chia $10 x$ cho $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (10 x - 40)}{2}$

Bước 2.2.11.1.16

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x - 10}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 40)}{2}$

Bước 2.2.11.1.17

Đưa $10$ ra ngoài $10 x - 40$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1.17.1

Đưa $10$ ra ngoài $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x) - 40)}{2}$

Bước 2.2.11.1.17.2

Đưa $10$ ra ngoài $- 40$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x + 10 \cdot - 4)}{2}$

Bước 2.2.11.1.17.3

Đưa $10$ ra ngoài $10 x + 10 \cdot - 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x - 4))}{2}$

Bước 2.2.11.1.18

Kết hợp $\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}}$ và $10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{2^{2}} \cdot (x - 4)}{2}$

Bước 2.2.11.1.19

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Bước 2.2.11.1.20

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1.20.1

Đưa $2$ ra ngoài ${(x - 10)}^{2} \cdot 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Bước 2.2.11.1.20.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1.20.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 (2)} \cdot (x - 4)}{2}$

Bước 2.2.11.1.20.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 \cdot 2} \cdot (x - 4)}{2}$

Bước 2.2.11.1.20.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 5}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Bước 2.2.11.1.21

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của ${(x - 10)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Bước 2.2.11.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2})}{2}$

Bước 2.2.11.3

Đưa $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ ra ngoài $\frac{(x - 4) \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$

Bước 2.2.11.4

Nhân $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.4.1

Nhân $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ với $\frac{x - 4}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.11.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$ .

$\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4} = 0$

Bước 3.2

Cho tử bằng không.

$5 {(x - 10)}^{2} (x - 4) = 0$

Bước 3.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x - 10)}^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

Bước 3.3.2

Đặt ${(x - 10)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Đặt ${(x - 10)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 10)}^{2} = 0$

Bước 3.3.2.2

Giải ${(x - 10)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Đặt $x - 10$ bằng $0$ .

$x - 10 = 0$

Bước 3.3.2.2.2

Cộng $10$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 10$

Bước 3.3.3

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 3.3.3.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 3.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $5 {(x - 10)}^{2} (x - 4) = 0$ đúng.

$x = 10, 4$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $10$ trong $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $10$ trong biểu thức.

$f (10) = (10) {(\frac{10}{2} - 5)}^{4}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Chia $10$ cho $2$ .

$f (10) = 10 {(5 - 5)}^{4}$

Bước 4.1.2.2

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$f (10) = 10 \cdot 0^{4}$

Bước 4.1.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (10) = 10 \cdot 0$

Bước 4.1.2.4

Nhân $10$ với $0$ .

$f (10) = 0$

Bước 4.1.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $10$ trong $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ là $(10, 0)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(10, 0)$

Bước 4.3

Thay $4$ trong $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f (4) = (4) {(\frac{4}{2} - 5)}^{4}$

Bước 4.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Chia $4$ cho $2$ .

$f (4) = 4 {(2 - 5)}^{4}$

Bước 4.3.2.2

Trừ $5$ khỏi $2$ .

$f (4) = 4 {(- 3)}^{4}$

Bước 4.3.2.3

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $4$ .

$f (4) = 4 \cdot 81$

Bước 4.3.2.4

Nhân $4$ với $81$ .

$f (4) = 324$

Bước 4.3.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $324$ .

$324$

Bước 4.4

Tìm điểm bằng cách thay thế $4$ trong $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ là $(4, 324)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(4, 324)$

Bước 4.5

Xác định các điểm có thể là điểm uốn.

$(10, 0), (4, 324)$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, 4) \cup (4, 10) \cup (10, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 4)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $3.9$ trong biểu thức.

$f'' (3.9) = \frac{5 {((3.9) - 10)}^{2} ((3.9) - 4)}{4}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Trừ $10$ khỏi $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{5 {(- 6.1)}^{2} (3.9 - 4)}{4}$

Bước 6.2.1.2

Trừ $4$ khỏi $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{5 {(- 6.1)}^{2} \cdot - 0.1}{4}$

Bước 6.2.1.3

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1

Nhân $- 0.1$ với $5$ .

$f'' (3.9) = \frac{- 0.5 {(- 6.1)}^{2}}{4}$

Bước 6.2.1.3.2

Nhân $- 0.5$ với ${(- 6.1)}^{2}$ .

$f'' (3.9) = \frac{- 18.605}{4}$

Bước 6.2.2

Chia $- 18.605$ cho $4$ .

$f'' (3.9) = - 4.65125$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 4.65125$ .

$- 4.65125$

Bước 6.3

Tại $3.9$ , đạo hàm bậc hai là $- 4.65125$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, 4)$

Giảm trên $(- \infty, 4)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(4, 10)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $7$ trong biểu thức.

$f'' (7) = \frac{5 {((7) - 10)}^{2} ((7) - 4)}{4}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Trừ $10$ khỏi $7$ .

$f'' (7) = \frac{5 {(- 3)}^{2} (7 - 4)}{4}$

Bước 7.2.1.2

Trừ $4$ khỏi $7$ .

$f'' (7) = \frac{5 {(- 3)}^{2} \cdot 3}{4}$

Bước 7.2.1.3

Nhân $3$ với $5$ .

$f'' (7) = \frac{15 {(- 3)}^{2}}{4}$

Bước 7.2.1.4

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (7) = \frac{15 \cdot 9}{4}$

Bước 7.2.2

Nhân $15$ với $9$ .

$f'' (7) = \frac{135}{4}$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{135}{4}$ .

$\frac{135}{4}$

Bước 7.3

Tại $7$ , đạo hàm bậc hai là $33.75$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(4, 10)$ .

Tăng trên $(4, 10)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(10, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $10.1$ trong biểu thức.

$f'' (10.1) = \frac{5 {((10.1) - 10)}^{2} ((10.1) - 4)}{4}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Trừ $10$ khỏi $10.1$ .

$f'' (10.1) = \frac{5 \cdot ({0.1}^{2} (10.1 - 4))}{4}$

Bước 8.2.1.2

Trừ $4$ khỏi $10.1$ .

$f'' (10.1) = \frac{5 \cdot {0.1}^{2} \cdot 6.1}{4}$

Bước 8.2.1.3

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.3.1

Nhân $6.1$ với $5$ .

$f'' (10.1) = \frac{30.5 \cdot {0.1}^{2}}{4}$

Bước 8.2.1.3.2

Nhân $30.5$ với ${0.1}^{2}$ .

$f'' (10.1) = \frac{0.305}{4}$

Bước 8.2.2

Chia $0.305$ cho $4$ .

$f'' (10.1) = 0.07625$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0.07625$ .

$0.07625$

Bước 8.3

Tại $10.1$ , đạo hàm bậc hai là $0.07625$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(10, \infty)$ .

Tăng trên $(10, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 9

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(4, 324)$ .

$(4, 324)$

Bước 10