Giải tích Ví dụ

$r^{2} = a^{2} \cos (2 θ)$

Bước 1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn $a^{2} \cos (2 θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$r^{2} = a^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1)$

Bước 1.1.2

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r^{2} = a^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + a^{2} \cdot - 1$

Bước 1.1.2.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) + a^{2} \cdot - 1$

Bước 1.1.2.2.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $a^{2}$ .

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot a^{2}$

Bước 1.1.3

Viết lại $- 1 a^{2}$ ở dạng $- a^{2}$ .

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) - a^{2}$

Bước 2

Vì $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , nên thay $\cos (θ)$ bằng $\frac{x}{r}$ .

$r^{2} = 2 a^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - a^{2}$

Bước 3

Vì $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , nên thay $r^{2}$ bằng $x^{2} + y^{2}$ và $r$ bằng $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - a^{2}$

Bước 4

Viết ở dạng chính tắc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Trừ $2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} = - a^{2}$

Bước 4.1.2

Cộng $a^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Bước 4.2

Rút gọn $x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Nhân $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.2.2

Nâng $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.2.3

Nâng $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.2.6

Viết lại ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ ở dạng $x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ở dạng ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.2.6.5

Rút gọn.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.4

Viết lại ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ ở dạng $x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ở dạng ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.4.5

Rút gọn.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2} + y^{2}$ và ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.5.1

Đưa $x^{2} + y^{2}$ ra ngoài $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.5.2.1

Đưa $x^{2} + y^{2}$ ra ngoài ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.6

Nhân $- 2 a^{2} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.6.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} + a^{2} \frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.6.2

Kết hợp $a^{2}$ và $\frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} + \frac{a^{2} (- 2 x^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.7

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x^{2} + y^{2} + \frac{a^{2} \cdot - 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.8

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $a^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} + \frac{- 2 \cdot a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.1.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{2} + y^{2} - \frac{2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.2

Để viết $x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.4

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 a^{2} x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 2 a^{2} x^{2}$ .

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.4.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (- 2 a^{2})$ .

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.5

Để viết $y^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.7.2

Nhân $y^{2}$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{2 + 2} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.7.2.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.4.1

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.4.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.7.4.1.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.7.4.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.7.5

Cộng $y^{2} x^{2}$ và $x^{2} y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.5.1

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.7.5.2

Cộng $x^{2} y^{2}$ và $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Bước 4.2.8

Để viết $a^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{a^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Bước 4.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2} + a^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Bước 4.2.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2} + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Bước 4.2.10.2

Cộng $- 2 x^{2} a^{2}$ và $a^{2} x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.10.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 a^{2} x^{2} + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Bước 4.2.10.2.2

Cộng $- 2 a^{2} x^{2}$ và $a^{2} x^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Bước 5