Giải tích Ví dụ

$- \cos^{2} (x)$

Bước 1

Viết $- \cos^{2} (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = - \cos^{2} (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} \cos^{2} (x)$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$f' (x) = - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.1.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.1.4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 2.1.5

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) \sin (x)$

Bước 2.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$f' (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

Bước 2.1.6.2

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (\sin (x) \cos (x))$

Bước 2.1.6.3

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x)$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\sin (2 x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Bước 3.2

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$2 x = \arcsin (0)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$2 x = 0$

Bước 3.4

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Bước 3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x = 0$

Bước 3.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$2 x = π - 0$

Bước 3.6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 x = π + 0$

Bước 3.6.1.2

Cộng $π$ và $0$ .

$2 x = π$

Bước 3.6.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = π$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = π$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Bước 3.6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Bước 3.6.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 3.7

Tìm chu kỳ của $\sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.7.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 3.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 3.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 3.7.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 3.8

Chu kỳ của hàm $\sin (2 x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.9

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Bước 5

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = \sin (2 x)$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = - \cos^{2} (x)$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{π n}{2})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π n}{2} - 1$ trong biểu thức.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} - 1))$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Bước 6.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n + 2 \cdot - 1)$

Bước 6.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n - 2)$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\sin (π n - 2)$ .

$\sin (π n - 2)$

Bước 6.3

Tại $x = \frac{π n}{2} - 1$ đạo hàm là $\sin (π n - 2)$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

Giảm trên $(- \infty, \frac{π n}{2})$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{π n}{2}, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π n}{2} + 1$ trong biểu thức.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} + 1))$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Bước 7.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2 \cdot 1)$

Bước 7.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2)$

Bước 7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\sin (π n + 2)$ .

$\sin (π n + 2)$

Bước 7.3

Tại $x = \frac{π n}{2} + 1$ đạo hàm là $\sin (π n + 2)$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{π n}{2}, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(\frac{π n}{2}, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, \frac{π n}{2})$

Bước 9