Giải tích Ví dụ

$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 1

Viết $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{\frac{5}{3}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Bước 2.1.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Bước 2.1.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Bước 2.1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Bước 2.1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Bước 2.1.2.6.2

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Bước 2.1.2.7

Kết hợp $\frac{5}{3}$ và $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Bước 2.1.2.8

Kết hợp $2$ và $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Bước 2.1.2.9

Nhân $5$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x^{\frac{4}{3}}$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{3}}$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Bước 2.1.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 2.1.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 2.1.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 2.1.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Bước 2.1.3.6.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.1.3.7

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 2.1.3.8

Kết hợp $- 5$ và $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 5 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Bước 2.1.3.9

Nhân $4$ với $- 5$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 2.1.3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Bước 3.2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x = 0, 8$

Bước 4

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $0, 8$ .

$0, 8$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 6.2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 6.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 6.2.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{2} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 6.2.2.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 1) = \frac{10 \cdot 1 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 6.2.2.5

Nhân $10$ với $1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 6.2.2.6

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 6.2.2.7

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Bước 6.2.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Bước 6.2.2.8.2

Viết lại biểu thức.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

Bước 6.2.2.9

Tính số mũ.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

Bước 6.2.2.10

Nhân $- 20$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 + 20}{3}$

Bước 6.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Cộng $10$ và $20$ .

$f' (- 1) = \frac{30}{3}$

Bước 6.2.3.2

Chia $30$ cho $3$ .

$f' (- 1) = 10$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $10$ .

$10$

Bước 6.3

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $10$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- \infty, 0)$ .

Tăng trên $(- \infty, 0)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(0, 8)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 7.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f' (4) = \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 7.3

Tại $x = 4$ đạo hàm là $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, 8)$ .

Giảm trên $(0, 8)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(8, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $9$ trong biểu thức.

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 8.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f' (9) = \frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 8.3

Tại $x = 9$ đạo hàm là $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(8, \infty)$ .

Giảm trên $(8, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \infty, 0)$

Giảm trên: $(0, 8), (8, \infty)$

Bước 10