Giải tích Ví dụ

$x + e^{- 4 x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + e^{- 4 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 1.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 1.2.2

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Bước 1.2.4

Nhân $- 4$ với $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Bước 1.2.5

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của $e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 4 e^{- 4 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 4 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 4 e^{- 4 x})$

Bước 2.1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 4 e^{- 4 x})$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 e^{- 4 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 e^{- 4 x}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} e^{- 4 x}$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 4 x$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 4 x))$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 4 x))$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 4 x$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (- 4 x))$

Bước 2.2.3

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} x))$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1))$

Bước 2.2.5

Nhân $- 4$ với $1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{- 4 x} \cdot - 4)$

Bước 2.2.6

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của $e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- 4 \cdot e^{- 4 x})$

Bước 2.2.7

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$f'' (x) = 0 + 16 e^{- 4 x}$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $16 e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = 16 e^{- 4 x}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + e^{- 4 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Bước 4.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 4.1.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 4.1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 4.1.2.2

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Bước 4.1.2.4

Nhân $- 4$ với $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Bước 4.1.2.5

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của $e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = 1 - 4 e^{- 4 x}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $1 - 4 e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $1 - 4 e^{- 4 x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

Bước 5.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ cho $- 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ cho $- 4$ .

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $e^{- 4 x}$ cho $1$ .

$e^{- 4 x} = \frac{- 1}{- 4}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$e^{- 4 x} = \frac{1}{4}$

Bước 5.4

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (\frac{1}{4})$

Bước 5.5

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Khai triển $\ln (e^{- 4 x})$ bằng cách di chuyển $- 4 x$ ra bên ngoài lôgarit.

$- 4 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{4})$

Bước 5.5.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$- 4 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{4})$

Bước 5.5.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$

Bước 5.6

Chia mỗi số hạng trong $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ cho $- 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Chia mỗi số hạng trong $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ cho $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Bước 5.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Bước 5.6.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Bước 5.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$16 e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ vào tử số.

$16 e^{- 4 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Bước 9.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$16 e^{4 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Bước 9.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$16 e^{4 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Bước 9.1.4

Viết lại biểu thức.

$16 e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{4}))}$

Bước 9.2

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$16 e^{1 \ln (\frac{1}{4})}$

Bước 9.2.2

Nhân $\ln (\frac{1}{4})$ với $1$ .

$16 e^{\ln (\frac{1}{4})}$

Bước 9.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$16 (\frac{1}{4})$

Bước 9.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$4 (4) \frac{1}{4}$

Bước 9.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \cdot 4 \frac{1}{4}$

Bước 9.4.3

Viết lại biểu thức.

$4$

Bước 10

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Simplify $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ to substitute in $f (x) = x + e^{- 4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Viết lại $\frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ ở dạng $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ .

$y = - (\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{1}{4}))$

Bước 11.1.2

Rút gọn $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{4}$ trong logarit.

$y = - \ln ({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}})$

Bước 11.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{4}$ .

$y = - \ln (\frac{1^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}})$

Bước 11.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})$

Bước 11.2

Thay thế biến $x$ bằng $- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})$ trong biểu thức.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) + e^{- 4 (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}))}$

Bước 11.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1

Nhân $- 4 (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})}$

Bước 11.3.1.1.2

Rút gọn $4 \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{\ln ({(\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})}^{4})}$

Bước 11.3.1.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + {(\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})}^{4}$

Bước 11.3.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1^{4}}{{(4^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Bước 11.3.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{{(4^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Bước 11.3.1.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.5.1

Nhân các số mũ trong ${(4^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.5.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Bước 11.3.1.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Bước 11.3.1.5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Bước 11.3.1.5.2

Tính số mũ.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Bước 11.3.2

Câu trả lời cuối cùng là $- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$ .

$y = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Bước 12

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x + e^{- 4 x}$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 13