Giải tích Ví dụ

$y = 6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ ; $x = 1$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Bước 2.3

Nhân $6$ với $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ đối với $x$ là $- 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

$6 - 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 4 x^{2} - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x^{2} - 3$ .

$6 - 12 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 - 12 (2 u \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x^{2} - 3$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Bước 3.4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Bước 3.6

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + 0))$

Bước 3.7

Nhân $2$ với $4$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x + 0))$

Bước 3.8

Cộng $8 x$ và $0$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x))$

Bước 3.9

Nhân $8$ với $2$ .

$6 - 12 (16 (4 x^{2} - 3) x)$

Bước 3.10

Nhân $16$ với $- 12$ .

$6 - 192 (4 x^{2} - 3) x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 + (- 192 (4 x^{2}) - 192 \cdot - 3) x$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 - 192 (4 x^{2}) x - 192 \cdot - 3 x$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $4$ với $- 192$ .

$6 - 768 x^{2} x - 192 \cdot - 3 x$

Bước 4.3.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$6 - 768 (x^{1} x^{2}) - 192 \cdot - 3 x$

Bước 4.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 - 768 x^{1 + 2} - 192 \cdot - 3 x$

Bước 4.3.4

Cộng $1$ và $2$ .

$6 - 768 x^{3} - 192 \cdot - 3 x$

Bước 4.3.5

Nhân $- 192$ với $- 3$ .

$6 - 768 x^{3} + 576 x$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 768 x^{3} + 576 x + 6$

Bước 5

Tính đạo hàm tại $x = 1$ .

$- 768 {(1)}^{3} + 576 (1) + 6$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 768 \cdot 1 + 576 (1) + 6$

Bước 6.1.2

Nhân $- 768$ với $1$ .

$- 768 + 576 (1) + 6$

Bước 6.1.3

Nhân $576$ với $1$ .

$- 768 + 576 + 6$

Bước 6.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Cộng $- 768$ và $576$ .

$- 192 + 6$

Bước 6.2.2

Cộng $- 192$ và $6$ .

$- 186$