Giải tích Ví dụ

$f'' (x) = x^{6} - 4 x^{4} + x + 1$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $f' (x)$ bằng cách tìm giá trị của tích phân bất định của đạo hàm $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{6} d x + \int - 4 x^{4} d x + \int x d x + \int d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{6}$ đối với $x$ là $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int - 4 x^{4} d x + \int x d x + \int d x$

Bước 4

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 \int x^{4} d x + \int x d x + \int d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int x d x + \int d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C$

Bước 9

Rút gọn.

$\frac{x^{7}}{7} - \frac{4 x^{5}}{5} + \frac{x^{2}}{2} + x + C$

Bước 10

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{7} x^{7} - \frac{4}{5} x^{5} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Bước 11

Hàm số $f'$ nếu được tính từ tích phân của đạo hàm của hàm số. Điều này thỏa định lý cơ bản của giải tích.

$f' (x) = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{4}{5} x^{5} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Bước 12

Có thể tìm hàm số $f (x)$ bằng cách tìm giá trị của tích phân bất định của đạo hàm $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Bước 13

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{7} x^{7} d x + \int - \frac{4}{5} x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Bước 14

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{7}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{7} \int x^{7} d x + \int - \frac{4}{5} x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Bước 15

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{7}$ đối với $x$ là $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) + \int - \frac{4}{5} x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Bước 16

Vì $- \frac{4}{5}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{4}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} \int x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Bước 17

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Bước 18

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Bước 19

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x + \int C d x$

Bước 20

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int C d x$

Bước 21

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + C x + C$

Bước 22

Rút gọn.

$\frac{x^{8}}{56} - \frac{2 x^{6}}{15} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + C x + C$

Bước 23

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{56} x^{8} - \frac{2}{15} x^{6} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + C$

Bước 24

Hàm số $f$ nếu được tính từ tích phân của đạo hàm của hàm số. Điều này thỏa định lý cơ bản của giải tích.

$f (x) = \frac{1}{56} x^{8} - \frac{2}{15} x^{6} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + C$