Giải tích Ví dụ

$f'' (x) = - 2 + 30 x - 12 x^{2}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $f' (x)$ bằng cách tìm giá trị của tích phân bất định của đạo hàm $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 2 d x + \int 30 x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- 2 x + C + \int 30 x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Bước 4

Vì $30$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $30$ ra khỏi tích phân.

$- 2 x + C + 30 \int x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 12 x^{2} d x$

Bước 6

Vì $- 12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 12$ ra khỏi tích phân.

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 12 \int x^{2} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

$- 2 x + 15 x^{2} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} - 12 \frac{x^{3}}{3} + C$

Bước 8.2.2

Kết hợp $- 12$ và $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{- 12 x^{3}}{3} + C$

Bước 8.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 12 x^{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3} + C$

Bước 8.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3 (1)} + C$

Bước 8.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Bước 8.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{- 4 x^{3}}{1} + C$

Bước 8.2.3.2.4

Chia $- 4 x^{3}$ cho $1$ .

$- 2 x + 15 x^{2} - 4 x^{3} + C$

Bước 9

Hàm số $f'$ nếu được tính từ tích phân của đạo hàm của hàm số. Điều này thỏa định lý cơ bản của giải tích.

$f' (x) = - 2 x + 15 x^{2} - 4 x^{3} + C$

Bước 10

Có thể tìm hàm số $f (x)$ bằng cách tìm giá trị của tích phân bất định của đạo hàm $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Bước 11

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 2 x d x + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Bước 12

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$- 2 \int x d x + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Bước 14

Vì $15$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $15$ ra khỏi tích phân.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 \int x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Bước 15

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Bước 16

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 \int x^{3} d x + \int C d x$

Bước 17

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int C d x$

Bước 18

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Bước 19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Bước 19.1.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Bước 19.1.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + C x + C$

Bước 19.2

Rút gọn.

$- x^{2} + 5 x^{3} - x^{4} + C x + C$

Bước 20

Hàm số $f$ nếu được tính từ tích phân của đạo hàm của hàm số. Điều này thỏa định lý cơ bản của giải tích.

$f (x) = - x^{2} + 5 x^{3} - x^{4} + C x + C$