Giải tích Ví dụ

$f'' (x) = 32 x^{3} - 15 x^{2} + 8 x$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $f' (x)$ bằng cách tìm giá trị của tích phân bất định của đạo hàm $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 32 x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Bước 3

Vì $32$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $32$ ra khỏi tích phân.

$32 \int x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 15 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Bước 5

Vì $- 15$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 15$ ra khỏi tích phân.

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 \int x^{2} d x + \int 8 x d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 8 x d x$

Bước 7

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 \int x d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$8 x^{4} - 5 x^{3} + 8 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$8 x^{4} - 5 x^{3} + 8 \frac{x^{2}}{2} + C$

Bước 9.2.2

Kết hợp $8$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{2} + C$

Bước 9.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 x^{2}$ .

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2} + C$

Bước 9.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 (1)} + C$

Bước 9.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Bước 9.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{4 x^{2}}{1} + C$

Bước 9.2.3.2.4

Chia $4 x^{2}$ cho $1$ .

$8 x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + C$

Bước 10

Hàm số $f'$ nếu được tính từ tích phân của đạo hàm của hàm số. Điều này thỏa định lý cơ bản của giải tích.

$f' (x) = 8 x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + C$

Bước 11

Có thể tìm hàm số $f (x)$ bằng cách tìm giá trị của tích phân bất định của đạo hàm $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Bước 12

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 8 x^{4} d x + \int - 5 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Bước 13

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$8 \int x^{4} d x + \int - 5 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Bước 14

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 5 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Bước 15

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 5$ ra khỏi tích phân.

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 \int x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Bước 16

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Bước 17

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int x^{2} d x + \int C d x$

Bước 18

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int C d x$

Bước 19

Áp dụng quy tắc hằng số.

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Bước 20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Bước 20.1.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Bước 20.1.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + C x + C$

Bước 20.2

Rút gọn.

$\frac{8 x^{5}}{5} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + C x + C$

Bước 21

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{8}{5} x^{5} - \frac{5}{4} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$

Bước 22

Hàm số $f$ nếu được tính từ tích phân của đạo hàm của hàm số. Điều này thỏa định lý cơ bản của giải tích.

$f (x) = \frac{8}{5} x^{5} - \frac{5}{4} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$